Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение волновой поверхности можно получить, приравнивая фазу в уравнении волны постоянной величине. Например, для плоской волны, описываемой уравнением
x(t, z) = A cos — (1)
уравнение волновой поверхности получаем, приравнивая аргумент косинуса произвольной константе С:
“('-!) =с-
откуда
z = ut + Cv (2)
Видно, что для фиксированного момента времени t уравнение (2) — это уравнение плоскости, перпендикулярной оси z. С течением времени эта плоскость перемещается со скоростью и вдоль оси z параллельно самой себе.
Для сферической волны, описываемой уравнением
x(t, г) = а у cos , (3)
поверхность постоянной фазы задается уравнением
г = ut + С2. (4)
Волновая поверхность в этом случае — это сфера, центр которой совпадает с центром волны, а радиус г растет с постоянной скоростью и.
Фронт волны. Следует различать понятия волновой поверхности и фронта волны. Волновая поверхность введена для монохроматической, строго говоря, бесконечно протяженной волны, при распространении которой все точки среды совершают гармонические колебания. Разумеется, это понятие можно применить и к более общему случаю стационарного волнового процесса, при котором все точки среды совершают периодические (но не обязательно гармонические) колебания по закону f(t — z/u), где f(t) — произвольная периодическая функция своего аргумента. Волновые по-
§ 47. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ И ДИФРАКЦИЯ ВОЛН. ЭФФЕКТ ДОПЛЕРА
325
верхности в этом случае имеют точно такой же вид (2), как и в монохроматической волне.
Понятие фронта волны относится к нестационарному волновому процессу распространения возмущения. Пусть вся среда находится в покое и в некоторый момент времени включается источник колебаний, от которого в среде начинает распространяться возмущение. Фронт волны — это поверхность, которая отделяет точки среды, пришедшие в движение, от тех точек, до которых возмущение еще не дошло. Очевидно, что в однородной изотропной среде фронт волны от плоского источника колебаний представляет собой плоскость, а фронт волны от точечного источника — сферу.
При распространении волн в однородной среде нахождение волновых поверхностей не представляет труда. Но при наличии в среде неоднородностей, преград, границ раздела и т. д. нахождение волновых поверхностей усложняется.
Принцип Гюйгенса. Простой прием построения волновых поверхностей был предложен Гюйгенсом. Принцип Гюйгенса позволяет находить волновую поверхность в некоторый момент времени, если известно ее положение в предшествующий момент. Для этого каждую точку волновой поверхности в момент времени t следует рассматривать как источник вторичных волн (рис. 203).
Волновая поверхность каждой вторичной волны спустя промежуток времени At представляет собой в однородной среде сферу радиуса и At. Искомая волновая поверхность в момент времени t -f- At — это геометрическая огибающая волновых поверхностей вторичных волн. Принцип Гюйгенса можно применять и для нахождения фронта волны в случае нестационарного волнового процесса.
В первоначальной формулировке Гюйгенса этот принцип представлял собой по существу лишь удобный рецепт для нахождения волновых поверхностей, ибо он не объяснял, например, то, почему положение волновой поверхности дает именно передняя огибающая вторичных волн и каков смысл задней огибающей поверхности, показанной на рис. 203 штриховой линией. Обоснование принципа Гюйгенса было дано Френелем на основе учета интерференции вторичных волн. С применением принципа Гюйгенса—Френеля мы встретимся при изучении оптики.
Легко видеть, что в простых случаях распространения плоской или сферической волны в однородной среде принцип Гюйгенса приводит к правильным результатам (2) и (4): плоская волна остается плоской, а сферическая — сферической. Принцип Гюйгенса позво-
Рис. 203. Построение волновой поверхности по принципу Гюйгенса
326
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ляет найти закон отражения и преломления плоской волны на бесконечной плоской границе раздела двух однородных сред.
Волны в неоднородной среде. С помощью принципа Гюйгенса можно объяснить, почему происходит поворот волновой поверхности при распространении волн в неоднородной среде. Пусть, например, плотность среды р возрастает в направлении оси у (рис. 204) таким образом, что скорость распространения волн и(у) уменьшается вдоль у по линейному закону. Если в какой-то момент времени t волновая поверхность 5 представляет собой плоскость z = 0, то спустя малый промежуток времени, в момент t + At, эта волновая поверхность, как видно из рис. 204, поворачивается и занимает новое положение 5 . Спустя следующий малый промежуток времени она занимает положение S" и т. д.
Описанные явления удобно наблюдать при распространении волн на поверхности и звуковых волн в воздухе. Преломление Рис. 204. Поворот волновой по- звука, вызванное неоднородностью ат-верхности в неоднородной среде МОсферного воздуха, приводит к ряду интересных явлений. Жители прибрежных поселков часто слышат голоса из лодок, находящихся очень далеко. Так бывает, когда температура воздуха наверху выше, чем на поверхности воды, т. е. внизу воздух имеет большую плотность. Это значит, что скорость звука внизу, у поверхности воды, меньше, чем вверху. Тогда звуковая волна, которая должна была бы под углом уходить вверх, преломляется в сторону воды и распространяется вдоль ее поверхности. Вдоль поверхности воды образуется своего рода волновод, по которому звук может распространяться на большие расстояния без заметного ослабления.
