Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, скорость поперечных волн в натянутой струне ut оказывается значительно меньше скорости продольных волн, так как относительное растяжение струны е много меньше единицы.
Энергия волны. При распространении волн происходит передача энергии без переноса вещества. Энергия волны в упругой среде состоит из кинетической энергии совершающих колебания частиц вещества и из потенциальной энергии упругой деформации среды.
Рассмотрим, например, продольную волну в упругом стержне. В фиксированный момент времени кинетическая энергия распределена по объему стержня неравномерно, так как одни точки стержня в этот момент покоятся, другие, напротив, движутся с максимальной скоростью. То же самое справедливо и для потенциальной энергии, так как в этот момент какие-то элементы стержня не деформированы, другие же деформированы максимально. Поэтому при рассмотрении энергии волны естественно вводить плотность кинетической и потенциальной энергий. Плотность энергии волны в каждой точке среды не остается постоянной, а периодически изменяется при прохождении волны: энергия распространяется вместе с волной.
• Почему при распространении поперечной волны в натянутой струне продольная составляющая силы натяжения струны одинакова вдоль всей струны и не изменяется при прохождении волны?
• Что такое монохроматические волны? Как длина монохроматической волны связана с частотой и скоростью распространения?
(П)
318
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
• В каких случаях волны называются продольными и в каких — поперечными?
• Покажите с помощью качественных рассуждений, что скорость распространения волны тем больше, чем больше сила, стремящаяся возвратить возмущенный участок среды в состояние равновесия, и тем меньше, чем больше инертность этого участка.
• Какими характеристиками среды определяется скорость продольных волн и скорость поперечных волн? Как связаны между собой скорости таких волн в натянутой струне?
д Плотность кинетической энергии бегущей волны. Рассмотрим плотность кинетической энергии в монохроматической упругой волне, описываемой уравнением (2):
x(t, z) = A cos со . (12)
Выделим в стержне малый элемент между плоскостями z и z + Az такой, что его длина Az в недеформированном состоянии много меньше длины волны X. Тогда скорости v всех частиц стержня в этом элементе при распространении волны можно считать одинаковыми. С помощью формулы (12) находим скорость v = х, рассматривая x(t, z) как функцию времени и считая величину z, характеризующую положение рассматриваемого элемента стержня, фиксированной:
v(i, z) = х = — (х>А sin со . (13)
Масса выделенного элемента стержня Ат = рS Az, поэтому его кинетическая энергия АЕк в момент времени t есть
А ?к = у A mv2 = i pS Aza>2A2 sin2 со . (14)
С помощью выражения (14) находим плотность кинетической энергии wK(t, z) в точке z в момент времени V.
w^1' z) = i P“2^2 sin2 co^-fj. (15)
Плотность потенциальной энергии. Перейдем к вычислению плотности потенциальной энергии волны. Поскольку длина выделенного элемента стержня мала по сравнению с длиной волны, то вызываемую волной деформацию этого элемента можно считать однородной. Поэтому потенциальную энергию деформации АЕп можно записать в виде
(16)
§ 46. ВОЛНЫ
319
где Al — удлинение рассматриваемого элемента стержня Az, вызванное проходящей волной.
Для нахождения этого удлинения нужно рассмотреть положение плоскостей, ограничивающих выделенный элемент, в некоторый момент времени I. Мгновенное положение любой плоскости, равновесное положение которой характеризуется координатой z, определяется функцией x(t, z), рассматриваемой как функция z при фиксированном t. Поэтому удлинение Л/ рассматриваемого элемента стержня, как видно из рис. 199, равно
А1 = x(t, z + Az) — x(t, z).
Относительное удлинение этого элемента есть
Д/ x(t, z+Az) — x(t, z)
x(t, z)
x(t, z + Дг)
Az
Az
Рис. 199. К расчету относительного удлинения стержня
Если в этом выражении перейти к пределу при Az—»0, то оно превращается в производную функции x(t, z) по переменной z при фиксированном t. С помощью формулы (12) получаем ДI со . . /. z\
---,4sina^--j. (17)
Теперь выражение для потенциальной энергии (16) принимает вид
2
AEn = \sAzE[^A
sinz ш \t —
(18)
а плотность потенциальной энергии wn(t, z) в точке z в момент времени t есть
1 i-п СО" л 9 . • . 9 ! j
2
АЕ,
S Az
(19)
Энергия бегущей волны. Поскольку скорость распространения продольных волн и = 'lЕ/р, то правые части в формулах (19) и
(15) совпадают. Это значит, что в бегущей продольной упругой волне плотности кинетической и потенциальной энергий равны в любой момент времени в любой точке среды. Зависимость плотности энергии волны w = wK + wn от координаты z в фиксированный момент времени t показана на рис. 200.
