Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим в этой системе отсчета элемент струны длины Д/, которая много меньше длины волны в тот момент, когда он находится на гребне синусоиды (рис. 196). Применим к этому элементу второй закон Ньютона. Силы, действующие на элемент со стороны соседних участков струны, показаны в выделенном кружке на рис. 196. Поскольку рассматривается поперечная волна, в которой смещения элементов струны перпендикулярны направлению распространения волны, то горизонтальная составляющая силы натя-
§46. ВОЛНЫ
315
жения F постоянна вдоль всей струны. Так как длина рассматриваемого участка А1«к, то направления сил натяжения, действующих на выделенный элемент, почти горизонтальны, а их модуль можно считать равным F. Равнодействующая этих сил направлена вниз и равна F Да.
Скорость рассматриваемого элемента равна и и направлена влево, а малый участок его синусоидальной траектории вблизи горба можно считать дугой окружности радиуса R. Поэтому ускорение этого элемента струны направлено вниз и равно u2/R. Массу элемента струны можно представить в виде рS Д/, где р — плотность материала струны, а 5 — площадь сечения, которые ввиду малости деформаций при распространении волны можно считать такими же, как и в отсутствие волны.
На основании второго закона Ньютона
F Да = р А1 (5)
Учитывая, что Al = R Да (рис. 196), получаем
Это и есть искомая скорость распространения поперечной монохроматической волны малой амплитуды в натянутой струне. Видно, что она зависит только от механического напряжения натянутой струны F/S и ее плотности р и не зависит от амплитуды и длины волны. Это значит, что поперечные волны любой длины распространяются в натянутой струне с одинаковой скоростью.
Если в струне одновременно распространяются, например, две монохроматические волны с одинаковыми амплитудами и близкими
Рис. 197. Сложение двух монохроматических волн с близкими частотами
частотами со1 и со2, то «моментальные фотографии» этих монохроматических волн и результирующей волны будут иметь вид, показанный на рис. 197. Там, где горб одной волны совпадает с горбом
316
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
другой, в результирующей волне смещение максимально. Поскольку соответствующие отдельным волнам синусоиды бегут вдоль оси z с одинаковой скоростью и, то и результирующая кривая бежит с той же самой скоростью, не меняя своей формы. Оказывается, что это справедливо для волнового возмущения любой формы: поперечные волны произвольного вида распространяются в натянутой струне, не меняя своей формы.
О дисперсии волн. Если скорость распространения монохроматических волн не зависит от длины волны или частоты, то говорят, что отсутствует дисперсия. Сохранение формы любой волны при ее распространении есть следствие отсутствия дисперсии. Дисперсия отсутствует для волн любого вида, распространяющихся в сплошных упругих средах. Это обстоятельство позволяет очень легко найти скорость продольных волн.
Скорость продольных волн. Рассмотрим, например, длинный упругий стержень площади S, в котором распространяется продольное возмущение с крутым передним фронтом. Пусть в некоторый момент времени t этот фронт, перемещаясь со скоростью и, дошел до точки с координатой z; справа от фронта все точки стержня еще покоятся. Спустя промежуток времени At фронт переместится вправо на расстояние и At (рис. 198). В пределах этого слоя все частицы движутся с одной и той же скоростью у. Спустя этот промежуток времени At частицы стержня, находившиеся в момент t на фронте волны, переместятся вдоль стержня на расстояние v At.
Применим к вовлеченной за время At в волновой процесс массе стержня Ат = pSu At закон сохранения импульса:
v Ат = vpSu At = F At. (7)
Действующую на массу Ат силу F выразим через деформацию эле-
мента стержня с помощью закона Гука:
M = (8)
I ES’
Длина / выделенного элемента стержня равна и At, а изменение его длины А/ под действием силы F равно v At. Поэтому с помощью (8) находим
v&t
Рис. 198. К расчету скорости распространения волны в струне
§ 46. ВОЛНЫ
317
Подставляя это значение в (7), получаем
u = f. ' Р
(10)
Скорость продольных звуковых волн в упругом стержне зависит только от модуля Юнга Е и плотности р. Легко убедиться, что в большинстве металлов эта скорость составляет примерно 5 км/с.
Скорость продольных волн в упругой среде всегда больше скорости поперечных. Сравним, например, скорости продольных и поперечных волн и1 и ut в натянутой гибкой струне. Поскольку при малых деформациях упругие постоянные не зависят от приложенных сил, то скорость продольных волн в натянутой струне не зависит от ее предварительного натяжения и определяется формулой (10).
Для того чтобы сравнить эту скорость с найденной ранее скоростью поперечных волн ut, выразим силу натяжения струны F, входящую в формулу (6), через относительную деформацию струны е = А1/10, обусловленную этим предварительным натяжением: е = F/(SE). Подставляя значение F в формулу (6), получаем
