Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Резонансные кривые. Амплитуда установившихся вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы /. Исследуем зависимость амплитуды колебаний от частоты со вынуждающей силы. При малом затухании у эта зависимость имеет очень резкий характер. Если у = 0, то при стремлении со к частоте свободных колебаний ш0 амплитуда вынужденных колебаний а стремится к бесконечности, что совпадает с полученным ранее результатом (8). При наличии затухания амплитуда колебаний в резонансе уже не обращается в бесконечность, хотя и значительно превышает амплитуду колебаний под действием внешней силы той же величины, но имеющей частоту, далекую от резонансной. Резонансные кривые при разных значениях постоянной затухания у приведены на рис. 183. Для нахождения частоты резонанса о)рез, нужно найти, при каком со подкоренное выражение в формуле (14) имеет минимум. Приравнивая производную этого выражения по о> нулю (или дополняя его до полного квадрата), убеждаемся, что максимум амплитуды вынужденных колебаний имеет место при
= Vcog - 2уг. (16)
Рис. 183. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы
со
рез
302
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Резонансная частота оказывается меньше частоты свободных колебаний системы. При малых 7 резонансная частота практически совпадает с ш0. При стремлении частоты вынуждающей силы к бесконечности, т. е. при ш»ш0, амплитуда а, как видно из (14), стремится к нулю. При ш = 0, т. е. при действии постоянной внешней силы, амплитуда а = /q/cOq. Если подставить сюда /0 = FJm и o)q = к/т, получим аСТ = FJk. Это есть статическое смещение осциллятора из положения равновесия под действием постоянной силы FQ.
Максимальная амплитуда. Амплитуду вынужденных колебаний в резонансе арез находим, подставляя частоту шрез из (16) в выражение (14):
_______А)___fо /1
~~ 2V Vco^ + v2 ~ ^шо'
Амплитуда колебаний в резонансе тем больше, чем меньше постоянная затухания 7. При изучении вынужденных колебаний вблизи резонанса трением пренебрегать нельзя, как бы мало оно ни было: только при учете затухания амплитуда в резонансе арез получается конечной.
Интересно сравнить значение арез со статическим смещением аст под действием силы FQ. Составляя отношение Дрез/яст, получаем при малом затухании
аст 2У'
Подставляя сюда ш0 = 2л/Т и учитывая, что 1/7= х есть время жизни собственных затухающих колебаний для той же системы в отсутствие внешних сил, находим
л-
л. т.
Но х/Т есть число колебаний, совершаемых затухающим осциллятором за время жизни колебаний х. Таким образом, резонансные свойства системы характеризуются тем же параметром, что и собственные затухающие колебания.
Фазовые соотношения. Формула (15) дает возможность проанализировать изменение сдвига фазы Ь между внешней силой и смещением x(t) при вынужденных колебаниях. При ш<кш0 значение tg Ь близко к нулю. Это означает, что при низких частотах смещение осциллятора происходит в фазе с внешней силой. При медленном вращении кривошипа на рис. 178 маятник движется в такт с правым концом шатуна.
§ 44. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
303
Если со>®>а>0, то tg г) стремится к нулю со стороны отрицательных значений, т. е. сдвиг фазы равен —л, и смещение осциллятора происходит в противофазе с вынуждающей силой. В резонансе, как видно из (15), смещение отстает по фазе от внешней силы на л/2. Вторая из формул (13) показывает, что при этом внешняя сила изменяется в фазе со скоростью x(t), т. е. все время действует в направлении движения. Что именно так и должно быть, ясно из интуитивных соображений.
Резонанс скорости. Из формулы (13) видно, что амплитуда колебаний скорости при установившихся вынужденных колебаниях равна со а. С помощью (14) получаем
/о"
V(cOn — ш2)2 + 4v2co2
/ п
(19)
-4y
Рис. 184. Амплитуда скорости при установившихся вынужденных колебаниях
Зависимость амплитуды скорости от частоты внешней силы показана на рис. 184. Резонансная кривая для скорости хотя и похожа на резонансную кривую для смещения, но отличается от нее в некоторых отношениях. Так, при со = 0, т. е. при действии постоянной силы, осциллятор испытывает статическое смещение из положения
равновесия и скорость его после того, как закончится переходный процесс, равна нулю. Из формулы (19) видно, что амплитуда скорости при со = 0 обращается в нуль. Резонанс скорости имеет место при точном совпадении частоты внешней силы с частотой свободных колебаний со = 0.
• Как строятся векторные диаграммы для установившихся вынужденных колебаний при синусоидальном внешнем воздействии?
• Чем определяется частота, амплитуда и фаза установившихся вынужденных гармонических колебаний?
• Опишите различия резонансных кривых для амплитуды смещения и амплитуды скорости. Какими характеристиками колебательной системы определяется острота резонансных кривых?
