Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
• Как связан характер резонансной кривой с параметрами системы, определяющими затухание ее собственных колебаний? к
304
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
§ 45. Энергетические превращения при вынужденных колебаниях. Установление колебаний
Установившиеся вынужденные клебания под действием синусоидальной силы внешне очень похожи на собственные незатухающие колебания: они происходят по синусоидальному закону с неизменной амплитудой. Но, несмотря на внешнее сходство, это принципиально разные колебания. При свободных колебаниях энергия колебаний, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, постоянна, а средние значения кинетической и потенциальной энергий равны между собой. А как обстоит дело в случае синусоидальных вынужденных колебаний?
Энергия установившихся колебаний. Запишем выражение для энергии колебаний:
тх
'¦ + ±кх2--
1 7 7 . 7
= - rmo a sin
(со/ + ft) + ~ ка2 cos2 (со/ + ¦0). (1)
Входящая в это выражение частота со определяется внешним воздействием и не зависит от характеризующих осциллятор величин кит. Поэтому в отличие от случая свободных колебаний, где сод = к/т и множители перед sin2 (со/ + а) и cos2 (со/ + а) в формуле (13) § 41
оказались одинаковыми, в формуле (1) это не так. Таким образом, полная энергия при установившихся вынужденных колебаниях непостоянна.
На рис. 185 показана зависимость от времени кинетической, потенциальной и полной энергий осциллятора при установившихся вынужденных колебаниях в случае со<зссо0. Все время идет переход энергии от источника внешнего воздействия в рассматриваемую систему и обратно. Полная энергия постоянна только при со = со0, т. е. при резонансе.
Средние значения кинетической и потенциальной энергий при вынужденных колебаниях могут сильно отличаться друг от друга. При низких частотах, когда со < со0, среднее значение кинетической энергии меньше среднего значения потенциальной; при со > со0 — наоборот. Действитель-
Рис. 185. Зависимость от времени кинетической, потенциальной и полной энергий осциллятора для установившихся вынужденных колебаний (при а>coq)
§ 45. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
305
но, при вынужденных колебаниях с очень низкими частотами почти вся энергия осциллятора — это энергия деформированной пружины, а кинетическая энергия ничтожно мала. При высоких частотах, напротив, скорость может достигать огромных значений даже при ничтожных смещениях, когда потенциальная энергия пренебрежимо мала.
Энергетические превращения. Рассмотрим подробнее энергетические превращения при установившихся вынужденных колебаниях. Если частота внешней силы много меньше частоты собственных колебаний системы, то, как уже отмечалось, почти вся энергия колебаний представляет собой потенциальную энергию. Поэтому, когда осциллятор удаляется от положения равновесия, энергия системы возрастает, т. е. внешняя сила совершает положительную работу. На протяжении этой четверти периода энергия поступает в систему от внешнего источника. На протяжении следующей четверти периода, когда осциллятор возвращается в положение равновесия и потенциальная энергия убывает, система отдает энергию внешнему источнику. Затем все повторяется.
Если частота внешней силы много больше частоты собственных колебаний, то, как мы видели, энергия осциллятора — это в основном кинетическая энергия. Поэтому система получает энергию от внешнего источника в те четверти периода, когда осциллятор движется к положению равновесия и его скорость возрастает. При удалении от положения равновесия система отдает энергию внешнему источнику.
Ясно, что при установившихся колебаниях получаемая системой от внешнего источника за период энергия превосходит отдаваемую, так как в системе действует сила трения, работа которой определяет диссипацию механической энергии — переход части энергии колебаний в теплоту.
При резонансе, когда частота внешней силы совпадает с частотой свободных колебаний, полная энергия системы постоянна, как и в случае свободных колебаний. Дважды за период кинетическая и потенциальная энергии целиком переходят друг в друга. Другими словами, при резонансе система совершает «почти собственные» колебания. Роль внешней силы сводится только к компенсации действующей в системе силы трения.
Поглощаемая мощность. Запишем выражение для развиваемой внешней силой мощности P(t) при установившихся колебаниях:
P(t) = F(l)vx(l) = F(l)x(t). (2)
При заданной внешней силе эта мощность пропорциональна первой степени скорости осциллятора, а тем самым и первой степени амплитуды вынужденных колебаний.
306
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Скорость диссипации механической энергии в системе определяется мощностью, развиваемой силой трения:
ЛР(0 = ЛР^(0 = -Qvl(t) = -рР(0- (3)
Видно, что эта мощность пропорциональна квадрату скорости осциллятора, т. е. пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.
Устойчивость вынужденных колебаний. Линейная зависимость мощности внешней силы и квадратичная зависимость мощности силы трения от амплитуды колебаний позволяют объяснить устойчивость режима вынужденных колебаний. Изобразим эту зависимость графически. На рис. 186 прямая линия характеризует получаемую системой энергию, а парабола — диссипируемую энергию, определяемую мощностью силы трения. Поскольку в установившемся режиме эти энергии равны, то точка пересечения прямой и параболы соответствует амплитуде установившихся колебаний. Представим себе, что в силу каких-то случайных причин амплитуда колебаний немного изменилась, например уменьшилась при неизменной фазе. Тогда, как видно из рис. 186, мощность внешней силы будет больше диссипируемой мощности. Это приводит к росту энергии системы и восстановлению прежнего значения амплитуды колебаний.
