Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть при гармонических колебаниях первого маятника его смещение из положения равновесия дается выражением
Каждый из маятников цепочки характеризуется тем расстоянием z, на которое он отстоит от начала цепочки. Поэтому его смещение из положения равновесия при прохождении волны естественно обозначить через x(t, z). Тогда, в соответствии со сказанным выше, имеем
Описываемая уравнением (2) волна называется монохроматической. Характерным признаком монохроматической волны является то, что каждый из маятников совершает синусоидальное колебание определенной частоты.
Распространение волны по цепочке маятников сопровождается переносом энергии и импульса. Но никакого переноса массы при этом не происходит: каждый маятник, совершая колебания около положения равновесия, в среднем остается на месте.
Поляризация волн. В зависимости от того, в каком направлении происходят колебания маятников, говорят о волнах разной поляризации. Если колебания маятников происходят вдоль направления распространения волны, как на рис. 192, то волна называется продольной, если поперек — то поперечной. Обычно волны разной поляризации распространяются с разными скоростями.
Рассмотренная цепочка связанных маятников представляет собой пример механической системы с сосредоточенными параметрами.
x(t) = A cos со/.
(1)
к т к т к т
• • wowowowowowowowow- • •
Рис. 193. Цепочка шариков, соединенных пружинками
Другой пример системы с сосредоточенными параметрами, в которой могут распространяться волны, — это цепочка шариков, связанных легкими пружинками (рис. 193). В такой системе инертные
§46. ВОЛНЫ
313
свойства сосредоточены у шариков, а упругие — у пружинок. При распространении волны кинетическая энергия колебаний локализована на шариках, а потенциальная — на пружинках.
Легко сообразить, что такую цепочку соединенных пружинками шариков можно рассматривать как модель одномерной системы с распределенными параметрами, например упругой струны. В струне каждый элемент длины обладает одновременно массой, т. е. инертными свойствами, и жесткостью, т. е. упругими свойствами.
Волны в натянутой струне. Рассмотрим поперечную монохроматическую волну, распространяющуюся в бесконечной натянутой струне. Предварительное натяжение струны необходимо потому, что ненатянутая гибкая струна, в отличие от твердого стержня, обладает упругостью только по отношению к деформации растяжения, но не сжатия.
Монохроматическая волна в струне описывается тем же выражением (2), что и волна в цепочке маятников. Однако теперь роль отдельного маятника играет каждый элемент струны, поэтому переменная z в уравнении (2), характеризующая равновесное положение маятника, принимает непрерывные значения. Смещение любого элемента струны из равновесного положения при прохождении волны x(t, z) есть функция двух переменных: времени t и равновесного положения этого элемента z.
Если в формуле (2) зафиксировать z, т. е. рассматривать определенный элемент струны, то функция x(t, z) при фиксированном z дает смещение выделенного элемента струны в зависимости от времени. Это смещение представляет собой гармоническое колебание с частотой со и амплитудой А:
x(t, z) = A cos (со/ + а). (3)
Начальная фаза колебаний этого элемента струны а = —(сo/u)z, т. е. зависит от его равновесного положения z. Все элементы струны при прохождении монохроматической волны совершают гармонические колебания одинаковой частоты и амплитуды, но различающиеся по фазе.
Длина волны. Если в формуле (2) зафиксировать t, т. е. рассматривать всю струну в один и тот же момент времени, то функция x(t, z) при фиксированном t дает мгновенную картину смещений всех элементов струны — как бы моментальную фотографию волны. На этой «фотографии» мы увидим застывшую синусоиду (рис. 194). Период этой синусоиды, т. е. расстояние между соседними горбами или впадинами, называется длиной волны X. Из формулы (2) можно найти, что длина волны связана с частотой со и скоростью волны и соотношением
к = 2- и = иТ,
О)
(4)
314
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
где Т — период колебаний. Картину распространения волны можно представить себе, если эту «застывшую» синусоиду привести в движение вдоль оси z со скоростью и. Две последовательные «моментальные фотографии» волны в моменты времени t и t + At
показаны на рис. 195. Видно, что длина волны \ равна расстоянию, проходимому любым горбом за период колебаний Т, в соответствии с формулой (4).
Скорость поперечной волны. Определим скорость распространения монохроматической поперечной волны в струне. Будем считать, что амплитуда А мала по сравнению с длиной волны: А<&\. Пусть волна бежит вправо со скоростью и. Перейдем в новую систему отсчета, движущуюся вдоль струны со скоростью, равной скорости волны и.
Эта система отсчета также является инерциальной и, следовательно, в ней справедливы законы Ньютона. Из этой системы отсчета волна кажется застывшей синусоидой, а вещество струны скользит вдоль этой синусоиды влево: любой предварительно окрашенный элемент струны будет казаться убегающим вдоль синусоиды влево со скоростью и.
