Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутиков Е.И. -> "Физика для углубленного изучения 1. Механика" -> 131

Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.

Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика для углубленного изучения 1. Механика — М.: Физматлит, 2004. — 350 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikadlyauglublennogoizucheniya2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 149 >> Следующая


Аналогично можно убедиться в том, что амплитуда вынужденных колебаний устойчива и по отношению к случайным отклонениям в сторону возрастания.

• Чем отличаются вынужденные гармонические колебания от собственных с точки зрения происходящих энергетических превращений?

• В чем особенность энергетических превращений при резонансе?

• Что будет, если в режиме установившихся вынужденных колебаний произойдет случайное увеличение или уменьшение их амплитуды?

д Переходные процессы. До сих пор мы рассматривали установившийся режим вынужденных колебаний. А как происходит установление колебаний? Начнем со случая резонансной внешней силы. Пусть в начальный момент осциллятор покоится в положении равновесия, т. е. начальные условия имеют вид

х(0) = 0, *(0)=0. (4)

Рис. 186. К исследованию устойчивости режима вынужденных колебаний
§ 45. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ

307

В этот момент на него начинает действовать внешняя синусоидальная сила с частотой со, равной частоте со0 свободных колебаний осциллятора.

Как мы знаем, движение осциллятора будет описываться уравнением (4) предыдущего параграфа:

х + 2ух + со^х = /0 cos со0(. (5)

Нам известно решение этого уравнения, описывающее установившиеся колебания, которые не зависят от начальных условий. При резонансе колебания отстают от вынуждающей силы на четверть периода, поэтому

х(() : a cos (соQt — я/2) : a sin соQt. (6)

Однако это решение не удовлетворяет начальным условиям (4), так как согласно (6) скорость х при t = 0 не равна нулю.

Как же найти решение уравнения (5), удовлетворяющее нашим начальным условиям? Такое решение обязательно должно переходить в (6) по мере установления колебаний, т. е при t—* оо. Поэтому попробуем искать решение в виде суммы выражения (6) и функции A exp (—yt) cos (со0г + а), описывающей собственные затухающие колебания осциллятора, т. е. являющейся решением уравнения (5) с правой частью, равной нулю, в случае малого затухания 7 <к со0. Эта сумма

x(t) = a sin со0t + A exp (—yt) cos (со0г + а) (7)

действительно является решением уравнения (5), в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. В самом деле, уравнение (5) содержит функцию x(t) и ее производные только в первой степени, поэтому каждое слагаемое в выражении (7) можно подставлять в уравнение (5) по отдельности. Подстановка слагаемого a sin со0t в левую часть (5) дает /0 cos со0г, а подстановка второго слагаемого дает нуль.

Благодаря множителю exp (—yt) второе слагаемое в (7) стремится к нулю при t—* , и остается только член

a sin соQt, описывающий установившиеся вынужденные колебания. Но при малых значениях времени t второе слагаемое в (7) играет важную роль: наличие двух произвольных постоянных А и а позволяет удовлетворить любым начальным условиям. Полагая в (7) t = 0 и учитывая первое из начальных условий (4), получаем

О = A cos а,

откуда а = я/2 и cos (со0г + а) в (7) равен —sin со0t.

При нахождении скорости х из (7) учтем, что при малом затухании, когда 7<ксо0, сомножитель exp (—yt) почти не изменя-
308

IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

ется на протяжении периода колебаний. Поэтому при дифференцировании x(t) его можно считать постоянным:

x(t) = асо0 cos со0/ — А ехр (—yt) со0 cos со0/. (8)

Полагая здесь / = 0 и учитывая второе начальное условие (4), получаем

0 = асо0 — Лсо0,

\

откуда А = а. Теперь выражение (7) принимает вид x(t) = a sin со0/ — а ехр (—yt) sin со0/ =

= [1 - ехр (-70] sin со0t. (9)

Время установления колебаний. Первое слагаемое в (9) представляет собой гармоническое колебание постоянной амплитуды и соответствует установившимся вынужденным колебаниям. Второе слагаемое соответствует собственным затухающим колебаниям. Поэтому процесс установления колебаний можно представить

Рис, 187. Процесс установления вынужденных колебаний при резонансе

себе таким образом: в начале процесса в системе одновременно присутствуют и вынужденные, и собственные колебания, причем амплитуда и фаза последних таковы, что результирующее колебание удовлетворяет начальным условиям. Графики этих колебаний показаны на рис. 187.

При малом затухании результирующее колебание x(t) в (9) можно рассматривать как синусоидальное колебание с частотой со0, амплитуда которого медленно нарастает со временем
§ 45. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ

309

(рис. 187). Характерное время установления амплитуды колебаний т = 1/7 совпадает с временем жизни собственных затухающих колебаний в той же системе.

Подведем некоторые итоги. При очень малом затухании амплитуда в резонансе будет очень большой, но ее установление длится очень долю. Чем более резко выражен резонанс, тем медленнее происходит установление. Это легко понять и с помощью энергетических соображений: чем острее резонанс, тем
Предыдущая << 1 .. 125 126 127 128 129 130 < 131 > 132 133 134 135 136 137 .. 149 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed