Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично можно убедиться в том, что амплитуда вынужденных колебаний устойчива и по отношению к случайным отклонениям в сторону возрастания.
• Чем отличаются вынужденные гармонические колебания от собственных с точки зрения происходящих энергетических превращений?
• В чем особенность энергетических превращений при резонансе?
• Что будет, если в режиме установившихся вынужденных колебаний произойдет случайное увеличение или уменьшение их амплитуды?
д Переходные процессы. До сих пор мы рассматривали установившийся режим вынужденных колебаний. А как происходит установление колебаний? Начнем со случая резонансной внешней силы. Пусть в начальный момент осциллятор покоится в положении равновесия, т. е. начальные условия имеют вид
х(0) = 0, *(0)=0. (4)
Рис. 186. К исследованию устойчивости режима вынужденных колебаний
§ 45. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
307
В этот момент на него начинает действовать внешняя синусоидальная сила с частотой со, равной частоте со0 свободных колебаний осциллятора.
Как мы знаем, движение осциллятора будет описываться уравнением (4) предыдущего параграфа:
х + 2ух + со^х = /0 cos со0(. (5)
Нам известно решение этого уравнения, описывающее установившиеся колебания, которые не зависят от начальных условий. При резонансе колебания отстают от вынуждающей силы на четверть периода, поэтому
х(() : a cos (соQt — я/2) : a sin соQt. (6)
Однако это решение не удовлетворяет начальным условиям (4), так как согласно (6) скорость х при t = 0 не равна нулю.
Как же найти решение уравнения (5), удовлетворяющее нашим начальным условиям? Такое решение обязательно должно переходить в (6) по мере установления колебаний, т. е при t—* оо. Поэтому попробуем искать решение в виде суммы выражения (6) и функции A exp (—yt) cos (со0г + а), описывающей собственные затухающие колебания осциллятора, т. е. являющейся решением уравнения (5) с правой частью, равной нулю, в случае малого затухания 7 <к со0. Эта сумма
x(t) = a sin со0t + A exp (—yt) cos (со0г + а) (7)
действительно является решением уравнения (5), в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. В самом деле, уравнение (5) содержит функцию x(t) и ее производные только в первой степени, поэтому каждое слагаемое в выражении (7) можно подставлять в уравнение (5) по отдельности. Подстановка слагаемого a sin со0t в левую часть (5) дает /0 cos со0г, а подстановка второго слагаемого дает нуль.
Благодаря множителю exp (—yt) второе слагаемое в (7) стремится к нулю при t—* , и остается только член
a sin соQt, описывающий установившиеся вынужденные колебания. Но при малых значениях времени t второе слагаемое в (7) играет важную роль: наличие двух произвольных постоянных А и а позволяет удовлетворить любым начальным условиям. Полагая в (7) t = 0 и учитывая первое из начальных условий (4), получаем
О = A cos а,
откуда а = я/2 и cos (со0г + а) в (7) равен —sin со0t.
При нахождении скорости х из (7) учтем, что при малом затухании, когда 7<ксо0, сомножитель exp (—yt) почти не изменя-
308
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ется на протяжении периода колебаний. Поэтому при дифференцировании x(t) его можно считать постоянным:
x(t) = асо0 cos со0/ — А ехр (—yt) со0 cos со0/. (8)
Полагая здесь / = 0 и учитывая второе начальное условие (4), получаем
0 = асо0 — Лсо0,
\
откуда А = а. Теперь выражение (7) принимает вид x(t) = a sin со0/ — а ехр (—yt) sin со0/ =
= [1 - ехр (-70] sin со0t. (9)
Время установления колебаний. Первое слагаемое в (9) представляет собой гармоническое колебание постоянной амплитуды и соответствует установившимся вынужденным колебаниям. Второе слагаемое соответствует собственным затухающим колебаниям. Поэтому процесс установления колебаний можно представить
Рис, 187. Процесс установления вынужденных колебаний при резонансе
себе таким образом: в начале процесса в системе одновременно присутствуют и вынужденные, и собственные колебания, причем амплитуда и фаза последних таковы, что результирующее колебание удовлетворяет начальным условиям. Графики этих колебаний показаны на рис. 187.
При малом затухании результирующее колебание x(t) в (9) можно рассматривать как синусоидальное колебание с частотой со0, амплитуда которого медленно нарастает со временем
§ 45. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ПРЕВРАЩЕНИЯ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
309
(рис. 187). Характерное время установления амплитуды колебаний т = 1/7 совпадает с временем жизни собственных затухающих колебаний в той же системе.
Подведем некоторые итоги. При очень малом затухании амплитуда в резонансе будет очень большой, но ее установление длится очень долю. Чем более резко выражен резонанс, тем медленнее происходит установление. Это легко понять и с помощью энергетических соображений: чем острее резонанс, тем