Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
А = p{SiVit — p2S2v2t- (4)
В силу стационарности движения энергия жидкости между сечениями Sj и S2 не меняется. Эта часть жидкости показана на рис. 218 двойной штриховкой. Поэтому изменение энергии рассматриваемой жидкости равно энергии части жидкости между сечениями S2 и S2 минус энергия части жидкости между сечениями Sj и Sj. Потенциальная энергия части жидкости между S2 и S2 равна рS2v2tgh2, ее кинетическая энергия равна ^ рS2v2tv\. Аналогично записываются
выражения для энергии жидкости между сечениями S! и Sj. Поэтому изменение энергии всей выделенной части жидкости в рассматриваемой трубке тока за время t равно
ДЕ = pS2v2igh2 + ^ рS2v2tv\ — ^рSiv^ghi + ^ pSjv^vjj . (5)
На основании закона сохранения механической энергии работа внешних сил (4) равна изменению энергии системы (5). Учитывая
340
V. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
уравнение неразрывности (3), получаем
Pi + PShi 4- \ pvf = р2 + pgh2 4- \ pv\. (6)
Это и есть уравнение Бернулли. Оно было выведено для достаточно узкой трубки тока и, строго говоря, справедливо, когда эта трубка
тока сжимается в линию тока. Поэтому сумма р 4- pgh 4- j pv2 остается неизменной вдоль одной и той же линии тока.
Давление в потоке. В неподвижной жидкости в состоянии равновесия согласно закону Паскаля давление не зависит от ориентации площадки. А как обстоит дело в движущейся жидкости? Уравнение Бернулли дает возможность ответить на этот вопрос в случае стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости. Оказывается, что измеряемое неподвижным манометром давление зависит от ориентации площадки в потоке.
Представим себе манометр в виде изогнутой трубки, передняя часть которой, обращенная навстречу потоку, запаяна, а в боковой стенке имеется параллельное скорости обтекающей жидкости отверстие (рис. 219): Такая трубка искажает поток только вблизи ее переднего конца, а вблизи отверстия поток практически не меняется.
Рис. 219. Манометрическая трубка в Рис. 220. Манометрическая трубка с
потоке открытым концом
Поэтому давление здесь такое же, как и во всех других точках линии тока, проходящей вблизи отверстия. Соединенный с такой трубкой манометр измеряет давление жидкости р, входящее в уравнение Бернулли. Такое же давление покажет произвольно ориентированный манометр, движущийся вместе с потоком.
Если же взять трубку с открытым передним концом, обращенным навстречу потоку жидкости (рис. 220), то показание соединенного с ней манометра будет больше р. Поясним это. Линии тока вблизи такой трубки показаны на рис. 220. Так как жидкость внутри трубки неподвижна, то скорость жидкости в точке А обрашается в нуль. Обозначим давление в этой точке через pv а давление и
§ 49. ДВИЖЕНИЕ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
341
скорость в потоке вдали от трубки — через р и v. Применяя к выделенной линии тока уравнение Бернулли, получаем
Pi = Р + 9 Pv
(7)
Именно это давление и показывает соединенный с трубкой манометр. По измерениям значений р и plt т. е. располагая трубками обоих типов, можно рассчитать скорость потока v.
Медицинский шприц. С помощью уравнения Бернулли легко оценить скорость истечения жидкости v из шприца. Будем считать жидкость идеальной. Пусть на поршень шприца, который имеет площадь S0, действует внешняя сила F (рис. 221) и струя жидкости вытекает из иглы с отверстием, имеющим площадь S. Рассмотрим линию тока, проходящую вдоль оси симметрии шприца, и применим к ней
уравнение Бернулли. Обозначая скорость поршня и, следовательно, жидкости вблизи него через v0, имеем
Рис. 221. К расчету скорости истечения жидкости из иглы шприца
(8)
Из уравнения неразрывности (3) вытекает, что S0v0 = Sv. Выражая отсюда v0 и подставляя в (8), получаем
2
(9)
Обычно площадь отверстия иглы во много раз меньше площади поршня шприца: 5«50. Тогда, пренебрегая квадратом отношения S/S0 по сравнению с единицей, находим скорость истечения
v =
2F
pS0
Формула Торричелли. Как вытекает налитая в широкий сосуд жидкость из небольшого отверстия в дне или боковой стенке под действием силы тяжести (рис. 222)? Скорость истечения идеальной несжимаемой жидкости легко найти с помощью уравнения Бернулли.
Рассмотрим линию тока, начинающуюся вблизи свободной поверхности жидкости и проходящую вдоль оси отверстия. Поскольку скорость жидкости вблизи поверхности в широком сосуде пренебрежи-
Рис. 222. К расчету скорости истечения жидкости из отверстия
342
V. ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
мо мала, то уравнение Бернулли имеет вид
РSh = \ pv2,
откуда
v = V2gh.
Таким образом, скорость истечения идеальной жидкости из отверстия в сосуде такая же, как и при свободном падении с высоты h.
Этот факт был впервые установлен Торричелли.
• Какое предположение лежит в основе модели идеальной жидкости? Зависит ли применимость этой модели только от свойств самой жидкости?