Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Здесь левая часть в соответствии со вторым законом Ньютона, является произведением массы на ускорение. Первый член в правой части представляет собой возвращающую силу, пропорциональную смещению х из положения равновесия. Для подвешенного на пружине груза это упругая сила, а во всех других случаях, когда ее физическая природа иная, эту силу называют квазиуп-ругой. Второе слагаемое есть сила трения, пропорциональная скорости, например сила сопротивления воздуха или сила трения в оси. Амплитуду F0 и частоту ш раскачивающей систему вынуждающей силы будем считать постоянными.
Разделим обе части уравнения (2) на массу т и введем обозначения
Теперь уравнение (2) принимает вид
х + 2ух + ш^х = /0 cos cot. (4)
В отсутствие вынуждающей силы правая часть уравнения (4) обращается в нуль и оно, как и следовало ожидать, сводится к уравнению собственных затухающих колебаний.
Опыт показывает, что во всех системах под действием синусоидальной внешней силы в конце концов устанавливаются колебания, которые также происходят по синусоидальному закону с частотой вынуждающей силы ш и с постоянной амплитудой а, но с некоторым сдвигом по фазе относительно вынуждающей силы. Такие колебания называются установившимися вынужденными колебаниями.
Установившиеся колебания. Рассмотрим вначале именно установившиеся вынужденные колебания, причем для простоты пренебрежем трением. В этом случае в уравнении (4) не будет члена, содержащего скорость:
х + ШрХ = /0 cos cot. (5)
§ 44. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС
297
Попробуем искать решение х(/), соответствующее установившимся вынужденным колебаниям, в виде
x(t) = a cos со/. (6)
Вычислим вторую производную х = -аса2 cos соt и подставим ее
вместе с x(t) в уравнение (5):
(—со2 + соц)а cos соt = /0 cos со/. (7)
Чтобы это равенство было справедливо в любой момент времени,
коэффициенты при cos со/ слева и справа должны быть одинаковы. Из этого условия находим амплитуду колебаний а:
а =
fa
(8)
Исследуем зависимость амплитуды а от частоты со вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 179. При со = О формула (8) дает а = /q/cOq. Подставив сюда значения /0 = FJm и со20 = к/т, видим, что постоянная во времени сила F0 просто смещает осциллятор в новое положение равновесия, сдвинутое от старого на FJk. Из (6) следует, что при со = 0 смещение
x{t) =-f = const, как, очевидно, и должно быть.
Фазовые соотношения. По мере роста частоты со вынуждающей силы от 0 до со0 установившиеся колебания x(t) происходят в фазе с вынуждающей силой /0 cos соt, а их амплитуда постоянно увеличивается, сначала медленно, а по мере приближения со к со0 — все быстрее и быстрее: при со—»со0 амплитуда колебаний неограниченно возрастает (а-»<»).
При значениях со, превосходящих частоту собственных колебаний со0, формула (8) дает для а отрицательное значение (рис. 179). Из формулы (6) ясно, что при со > со0 колебания происходят в про-тивофазе с вынуждающей силой: когда сила действует в одну сторону, осциллятор смещен в противоположную. При неограниченном увеличении частоты вынуждающей силы амплитуда колебаний стремится к нулю.
Амплитуду колебаний во всех случаях удобно считать положительной, чего легко добиться, вводя сдвиг фаз между вынуждающей
298
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
силои и смещением:
= | а | cos (cot + $).
(9)
Здесь а по-прежнему дается формулой (8), а сдвиг фазы $ равен нулю при со < со0 и равен — л при со>со0. Графики зависимости
| а | и $ от частоты вынуждающей силы показаны на рис. 180.
lei
V*
о
¦в
Рис. 180. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний
Резонанс. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы имеет немонотонный характер. Резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты со вынуждающей силы к собственной частоте со0 осциллятора называется резонансом.
Формула (8) дает выражение для амплитуды вынужденных колебаний в пренебрежении трением. Именно с этим пренебрежением связано обращение амплитуды колебаний в бесконечность при точном совпадении частот со и со0. Реально амплитуда колебаний в бесконечность, конечно же, обращаться не может.
Это означает, что при описании вынужденных колебаний вблизи резонанса учет трения принципиально необходим. При учете трения амплитуда вынужденных колебаний при резонансе получается конечной. Она будет тем меньше, чем больше трение в системе. Вдали от резонанса формулой (8) можно пользоваться для нахождения амплитуды колебаний и при наличии трения, если оно не слишком сильное, т. е. у«со0. Более того, эта формула, полученная без учета трения, имеет физический смысл только тогда, когда трение все же есть. Дело в том, что само понятие установившихся вынужденных колебаний применимо только к системам, в которых есть трение.
