Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Сшивание решений. Зависимость смещения шара от времени x(t) показана на рис. 170. Сначала шар идет слева направо, чему соответствует отрезок синусоиды АВ, изображающий незатухающие колебания около среднего положения —\imglk. Движение
справа налево изображается отрезком синусоиды ВС, соответствующим колебанию около среднего положения \i.mg/k, и т. д. В результате чередования кусков синусоид, описывающих незатухающие колебания около двух чередующихся положений равновесия, получается кривая, описывающая затухающее движение.
284
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Очевидно, что рано или поздно скорость шара обратится в нуль в тот момент, когда он будет находиться внутри области застоя (точка Е на рис. 170), и на этом его движение прекратится. В отличие от затухающих колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорости, где амплитуда убывает экспоненциально и колебания, строго говоря, продолжаются бесконечно долго, здесь амплитуда убывает линейно и колебания полностью прекращаются за конечное время.
Фазовая траектория. Наглядное представление о рассмотренных колебаниях при наличии сухого трения можно получить и с помощью фазовой диаграммы (рис. 171). Начальное состояние изображается точкой А на оси х. Движению шара слева направо соответствует часть фазовой траектории АВ, представляющая собой половину окружности, центр которой находится на оси х в точке
— \img/k. Дальнейшему движению справа налево соответствует половина окружности ВС, центр которой находится в точке \img/k на оси х, и т. д. Вся фазовая траектория состоит из таких половинок окружностей с чередующимися центрами. Она обрывается в точке Е на оси х, как только достигнет области застоя.
Погрешности стрелочных приборов.
Рассмотренные особенности затухающих колебаний позволяют понять происхождение погрешностей у стрелочных измерительных приборов, связанных с успокоением их подвижной системы при измерениях. Неизбежно присутствующее сухое трение приводит к существованию области застоя около положения равновесия стрелки прибора при проведении измерения. Из рис. 170 и 171 видно, что остановка после колебаний может произойти в любой точке области застоя в зависимости от начальных условий. Поэтому остановка стрелки прибора происходит не точно на том делении шкалы, которое соответствует измеряемой величине, а в какой-либо точке области застоя вблизи этого деления.
Для уменьшения погрешности измерений сухое трение стремятся свести к минимуму. Один из способов уменьшения сухого трения — применение смазки. При этом трение становится пропорциональным скорости и затухание происходит в соответствии с законом (11). Стрелка при этом должна остановиться в положении равновесия. Чтобы успокоение подвижной системы прибора не происходило слишком долго, применяются так называемые демпфирующие устройства, гасящие колебания. Эти устройства не должны ухуд-
Рис. 171. Фазовая траектория затухающих колебаний при сухом трении
§ 42. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
285
шать точность прибора, поэтому вводимое ими трение должно быть
пропорционально скорости.
• Покажите, что при собственных колебаниях осциллятора с трением, пропорциональным скорости, амплитуда колебаний убывает экспоненциально.
• Какой физически смысл имеет параметр х, называемый временем жизни колебаний?
• При каком соотношении между коэффициентами в уравнении (4), описывающем осциллятор с трением, пропорциональным скорости, движение будет апериодическим?
• Каков характер последовательностей, которые образуют последовательные максимальные смещения из положения равновесия для затухающих колебаний при трении, пропорциональном скорости, и при сухом трении? Что можно сказать о полном числе колебаний до остановки в каждом из этих случаев?
• Опишите различие фазовых траекторий затухающего осциллятора, изображенных на рис. 168 и 171.
Д Идеализации в принятой модели. При изучении колебаний, как и любого другого физического явления, мы всегда вынуждены упрощать рассматриваемую систему, стремясь, тем не менее, сохранить в выбранной идеализированной модели наиболее важные черты явления. Однако никакую идеализацию нельзя продолжать до бесконечности, нужно всегда отдавать себе отчет, до каких пределов остается справедливой выбранная модель. Но и в рамках выбранной модели иногда еще остаются вопросы, связанные с условиями применимости приближений, использованных при конкретных расчетах.
Проанализируем с этой точки зрения те приближения, которые были использованы выше при изучении колебаний груза, подвешенного на упругой пружине. Задумаемся над вопросом, в чем смысл сделанного там предположения о малости массы пружины по сравнению с массой груза. Ведь при выводе уравнения движения груза (5) предположение об этом, казалось бы, нигде не использовалось. Действительно, мы воспользовались вторым законом Ньютона для груза (2), в который входит масса груза т, но не входит масса пружины. Однако уравнение колебаний груза (5) все-таки справедливо лишь тогда, когда масса пружины достаточно мала.
