Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутиков Е.И. -> "Физика для углубленного изучения 1. Механика" -> 122

Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.

Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика для углубленного изучения 1. Механика — М.: Физматлит, 2004. — 350 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikadlyauglublennogoizucheniya2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 149 >> Следующая


На первый взгляд может показаться, что дело здесь только в том, что массивная пружина будет растянута еще и под действием собственной тяжести, так что действующая на груз со стороны пружины сила уже не будет равна i(x + x0), как в уравнении (2). Однако это совсем не так. И при горизонтальном расположении пружины (см. рис. 169) в отсутствие трения уравнение (5)
286

IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

справедливо лишь тогда, когда масса пружины мала по сравнению с массой груза. В противном случае нужно учитывать движение самой пружины. В самом деле, при получении закона движения (5) предполагается, что если конец пружины оттянут на расстояние х, то действующая на груз сила равна — кх. Но это верно только в статическом случае, если пружина растягивается достаточно медленно.

При ускоренном движении груза (а следовательно, и пружины) пружина в разных своих частях растянута по-разному и ее растяжение уже не пропорционально силе. Пружина уже не ведет себя квазистатически: она сама может колебаться как система с распределенными параметрами. Но если масса пружины мала по сравнению с массой прикрепленного к ней груза, то можно не считаться с этими колебаниями, так как они «быстрые» по сравнению с колебаниями груза на пружине и очень скоро затухают.

В самом деле, частота колебаний груза, как видно из (4), пропорциональна квадратному корню из отношения жесткости пружины к массе груза. При оценке частоты собственных колебаний пружины можно считать, что ее зависимость от жесткости пружины и массы имеет такой же вид. Поэтому при малой массе пружины частота колебаний велика по сравнению с частотой колебаний груза. Если для простоты предположить, что число колебаний за время их жизни одинаково по порядку величины как для колебаний груза, так и для колебаний пружины, то затухание высокочастотных колебаний пружины происходит за значительно меньшее время,чем затухание колебаний груза. Поэтому такие колебания пружины могли бы сыграть роль только в первый момент, когда они еще не затухли.

Если в начальный момент пружина деформирована однородно, то эти колебания вообще не возникают (разумеется, при условии, что масса пружины много меньше массы груза). Если же в начальный момент пружина деформирована неоднородно, то такие быстрые колебания пружины как распределенной системы обязательно возникнут, но быстро затухнут, так что за время существования этих колебаний груз еще не успеет заметно сдвинуться с места. Что же может произойти в системе из-за этих колебаний?

Неоднородная деформация пружины. Проделаем такой опыт. Захватим пружину, изображенную на рис. 169, за середину и растянем ее левую половину на некоторое расстояние х0 (рис. 172). Вторая половина пружины остается в недеформиро-ванном состоянии, так что груз в начальный момент смещен из положения равновесия вправо на расстояние х0 и покоится. Затем пружину отпустим. К каким особенностям приведет то
§ 42. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ

287

обстоятельство, что в начальный момент пружина деформирована неоднородно?

Если бы при смещении груза на х0 пружина была деформирована однородно, движение груза в отсутствие трения представляло бы собой гармоническое колебание около положения равнове-сия с частотой со - у/к/т и амплитудой xQ:

x(t) = х0 cos соt.

Начальная фаза колебаний в формуле (14) равна нулю, поскольку при t = 0 груз смещен из положения равновесия на расстояние х0, равное амплитуде колеоании. иднако в нашем случае пружина в начальный момент деформирована неоднородно — разные части пружины деформированы по-разному.

Энергия осциллятора и быстрые колебания. При однородной начальной деформации пружины запас механической энергии системы равен кхУ2. При начальных условиях нашей задачи, когда растянута на х0 половина пружины, запас энергии равен 1кх\)1, ибо, как нетрудно сообразить, жесткость половины пружины равна

2к. После затухания быстрых колебаний сила натяжения в пружине перераспределяется, а смещение груза остается приблизительно равным х0, так как груз за это время не успевает заметно сдвинуться. Деформация пружины становится однородной, а энергия системы становится равной kxyi.

Таким образом, роль быстрых колебаний пружины свелась к тому, что запас энергии системы уменьшился до того значения, которое соответствует однородной начальной деформации пружины. Ясно, что дальнейшие процессы в системе не отличаются от случая однородной начальной деформации. Зависимость смещения груза от времени x(t) выражается той же самой формулой (14). Напомним еще раз, что приведенное рассуждение справедливо при условии, что время затухания быстрых колебаний пружины много меньше периода колебаний груза на пружине.

Теперь представим себе, что, не разобравшись в особенностях начальных условий, мы прямо применили закон сохранения механической энергии! Закон механической энергии универсален. Но для его правильного применения нужна исчерпывающая «бухгалтерия»: необходимо тщательно разобраться, какие превращения энергии возможны в рассматриваемом явлении.
Предыдущая << 1 .. 116 117 118 119 120 121 < 122 > 123 124 125 126 127 128 .. 149 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed