Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, сила Fx, определяющая движение поезда с выключенными двигателями в отсутствие трения, пропорциональна смещению х от.положе-
292
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
ния равновесия О и направлена к этому положению равновесия. Это значит, что свободное движение поезда в туннеле имеет характер гармонического колебания с периодом
_ 2я Гт
Т = — = 2л V~r, а> Ik
где к — коэффициент пропорциональности между смещением х и возвращающей силой Fx. Из (18) видно, что k = mg/R, поэтому
(19)
Т = 2л V-.
' 8
Обратим внимание на то, что ответ не зависит от того, какие две точки земной поверхности соединяет этот прямой туннель, т. е. от того, на каком расстоянии от центра Земли он проходит. В частности, туннель может проходить через центр Земли. Время движения от одного конца до другого в любом таком туннеле одно и то же и составляет половину периода колебаний, определяемого формулой (19). Подчеркнем, что этот результат справедлив для модели однородного шара и к реальной Земле, строго говоря, неприменим.
Отметим, что период колебаний (19) равен периоду обращения спутника Земли по низкой круговой орбите, проходящей у самой поверхности Земли. Он составляет примерно 1,5 часа.
4. Два положения равновесия. Железный шарик подвешен на нити между полюсами электромагнита (рис. 175). В отсутствие тока в электромагните
у///////.
Рис. 175. Колебания железного шарика между полюсами магнита
период колебаний маятника равен TQ. Когда через электромагнит пропускают ток и появляется горизонтальная магнитная сила, период колебаний становится равным Т. На какой угол будет отклонена от вертикали нить после того, как эти колебания затухнут?
Решение. В отсутствие тока малые колебания шарика на нити происходят под действием силы тяжести и их частота со0 (со0 = 2л1Т0) определяется длиной нити I и ускорением свободного падения g:
a)g = y. (20)
При включении электромагнита под действием боковой силы положение равновесия смещается от вертикали на некоторый угол а. Именно
§ 43. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РАЗНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 293
под этим углом и будет расположена нить после того, как колебания затухнут. При малых колебаниях около нового положения равновесия действующую на шарик горизонтальную магнитную силу можно считать постоянной. Шарик теперь совершает колебания в эффективном силовом поле, напряженность которого определяется векторной суммой силы тяжести и магнитной силы и направлена под углом а к вертикали (рис. 176).
Частота малых колебаний со (со = 2п/Т) около нового положения равновесия в этом эффективном силовом поле будет, очевидно, определяться выражением
?эф
I ¦
(21)
Косинус угла а, определяющего новое положение равновесия, как видно из рис. 176, равен отношению g к
8
cos а = ¦
S.
Эф
Выражая g и g^ из (20) и (21), получаем
2
cos а = —г =
(22)
Рис. 176. Равновесие шарика в эффективном силовом поле с напряженностью
Из (22) видно, что решение существует, если период Т новых колебаний меньше периода Т0 в отсутствие магнитного поля.
Сложные колебания. Можно ли быть уверенным в том, что, измеряя на опыте период колебаний после включения электромагнита, мы действительно обнаружим, что Т < 7'0? Оказывается, нет. Может случиться, что шарик будет совершать явно негармонические колебания, причем его движение будет весьма замысловатым. Попробуем разобраться, в чем здесь дело.
Прежде всего, обратим внимание на то, что при включении электромагнита появляется не одно, а два новых устойчивых положения равновесия, расположенных симметрично по обе стороны от старого положения равновесия в поле тяжести Земли. Само старое положение равновесия, когда маятник расположен отвесно посередине между полюсами электромагнита, также сохраняется, что ясно из соображений симметрии. Однако теперь это положение равновесия будет неустойчивым: если включить электромагнит, то висевший неподвижно маятник от ничтожного случайного толчка «свалится» или в одну, или в другую сторону.
Теперь ясно, что потенциальная энергия маятника как функция угла его отклонения от вертикали будет иметь вид, схематически показанный на рис. 177. Среднему неустойчивому положению соответствует локальный максимум потенциальной энергии, а углам отклонения ±а, определяемым соотношением (22), — симметрично расположенные минимумы. Характер колебаний маятника в такой сложной потенциальной яме зависит от полной энергии, которая, в свою очередь, определяется начальными условиями.
Фазовая траектория. Если полная энергия Е маятника меньше высоты потенциального барьера Ео, разделяющего положения устойчивого рав-
294
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
новесия, то маятник будет совершать колебания около одного из них. Таким колебаниям соответствуют замкнутые (в отсутствие трения) кривые / и l' на фазовой диаграмме в нижней части рис. 177. Эти колебания будут
