Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Угол отклонения ф(?) входит в него как аргумент функции синуса. Поскольку при малых углах sin 9 = 9, то (23) в случае малых колебаний переходит в уравнение гармонического осциллятора (22). Описываемые уравнением (23) колебания являются ангармоническими: их период зависит от амплитуды (рт. Приближенная формула для периода ангармонических колебаний маятника имеет вид
где Т0 соответствует малым гармоническим колебаниям и дается
формулой (21).
• Почему малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия в любых системах можно приближенно считать гармоническими?
• Объясните, почему физическая система, выражение для энергии которой имеет вид (19) или (15), представляет собой гармонический осциллятор.
• Каким образом можно использовать маятник для экспериментальной проверки равенства инертной и гравитационной масс?
• Как получить дифференциальное уравнение (23), описывающее ангармонические колебания математического маятника? а
sin ip = 0.
(23)
§ 42. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
279
§ 42. Затухающие колебания
Свободные колебания, рассмотренные в предыдущем параграфе, представляют собой некоторую идеализацию. В реальных системах механическое движение всегда сопровождается трением. Наличие трения приводит к рассеянию, или, как говорят, к диссипации механической энергии. Диссипация энергии колебаний происходит в любых реальных колебательных системах, вызывая затухание собственных колебаний.
Осциллятор с затуханием. Рассмотрим затухающие механические колебания подробнее. Часто при движении тела в среде действующую на него силу сопротивления при малых скоростях можно считать пропорциональной скорости:
FTp = -Pv. (1)
Эту силу следует учесть в уравнении второго закона Ньютона, описывающего движение тела. Например, уравнение (3) предыдущего параграфа, описывающее вертикальные колебания груза, подвешенного на пружине, при наличии трения будет иметь вид
т'х = — кх — рх, (2)
где через х обозначена производная смещения х по времени, т. е. проекция скорости тела. Вводя обозначения
«о§-*, 27 = А, (3)
и т ' m перепишем уравнение (2) следующим образом:
х + 2ух + Шо* = 0. (4)
Такой же вид имеет уравнение, описывающее малые собственные колебания в любой физической системе, затухающие из-за силы сопротивления, пропорциональной скорости.
Диссипация энергии. Не будем пока решать уравнение (4), а попробуем выяснить, как влияет наличие сопротивления на колебательное движение. Будем при этом считать, что затухание мало настолько, что связанная с ним потеря энергии системы за период колебания мала по сравнению с энергией колебаний. Согласно закону сохранения энергии изменение механической энергии системы равно работе силы трения:
АЕ = FTp-Аг.
Подставляя сюда силу трения из (1) и учитывая, что Ах = vxAt, получаем
АЕ = — (Зг^ Ах = — At. (5)
280
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Из соотношения (5) в пределе при А/—*0 видно, что скорость изменения энергии колебаний dE/d.1 пропорциональна квадрату скорости и поэтому может быть выражена через кинетическую энергию ?к = mv\/2:
§ = _^2 = _2Р^=_2Р?к. (6)
dt “ х m2 т к
Из формулы (6) видно, что диссипация энергии в течение периода колебаний происходит неравномерно, так как кинетическая энергия Ек осциллирует. Но мы хотим составить уравнение, описывающее монотонное убывание энергии за время, содержащее много периодов колебаний. Очевидно, что это уравнение будет иметь такой же вид, как и (6), только в правой его части следует взять не мгновенное, а среднее за период значение кинетической энергии (Ек)\
f=-?<*¦>• <7>
Подчеркнем, что это уравнение уже нельзя применять для промежутков времени, меньших периода колебаний. Ввиду малости затухания можно считать, что среднее за период значение кинетической энергии, как и при свободных колебаниях, равно половине полной энергии осциллятора: (?к) = Е/2. Подставляя это значение (Ек) в (7) и используя обозначения (3), получаем
ж = ~2уе- W
Формула (8) показывает, что скорость изменения энергии (dE/dt), характеризующая «сглаженное» поведение энергии колебаний, когда нас не интересуют детали ее изменения на протяжении одного периода
колебаний, пропорциональна самой энергии Е. Решение уравнения
(8) показывает, что энергия осциллятора E(t) убывает по экспоненциальному закону:
E(t) = Е0 exp (—2yt). (9)
§ 42. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ
281
Здесь Е0 — значение энергии системы в начальный момент времени. Но энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды. Поэтому изменение амплитуды колебаний за большие по сравнению с периодом промежутки времени дается выражением
