Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутиков Е.И. -> "Физика для углубленного изучения 1. Механика" -> 126

Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.

Бутиков Е.И., Кондратьев А.С. Физика для углубленного изучения 1. Механика — М.: Физматлит, 2004. — 350 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikadlyauglublennogoizucheniya2004.pdf
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 149 >> Следующая


гармоническими только при достаточно малых амплитудах, когда асимметричную потенциальную яму около бокового положения равновесия можно с хорошей точностью аппроксимировать параболой. Именно этим изохронным малым колебаниям и соответствует период Г, входящий в выражение (22).

Если полная энергия маятника больше высоты потенциального барьера Е0, то колебаниям маятника будет соответствовать фазовая траектория 2 на рис. 177. Маятник проходит с некоторой скоростью через вертикальное положение, преодолевая потенциальный барьер, разгоняется по мере приближения к одному из боковых положений равновесия, проскакивает его, останавливается в крайней точке, движется обратно, разгоняясь, к положению равновесия, опять проскакивает его, замедляется, приближаясь к вертикальному положению, но не останавливается, а проскакивает его, и дальше все повторяется около другого положения равновесия.

Хотя и в этом случае движение маятника будет периодическим, но далеко не изохронным: период очень сильно зависит от значения полной энергии. В частности, когда энергия Е равна высоте Е0 потенциального барьера, маятник медленно, «с трудом» взбирается на его вершину, практически «замирая» на ней. Такому движению маятника соответствует сепаратриса 3 на фазовой диаграмме, отделяющая траектории, соответствующие колебаниям около одного из положений равновесия, от траекторий, охватывающих оба положения равновесия. К таким колебаниям формула (22) не имеет никакого отношения.

Показанный на рис. 177 фазовый портрет соответствует полному пренебрежению трением и другими диссипативными процессами. С учетом трения при любых начальных условиях фазовая траектория будет постепенно закручиваться и в конце концов придет к одному из двух возможных состояний равновесия.

• Нарисуйте графики x(t) и v(t), описывающие колебания груза из задачи 1. Постройте соответствующую фазовую траекторию. Укажите на ней точку, изображающую начальное состояние осциллятора. Какой геометрический смысл на этой диаграмме имеют амплитуда А и начальная фаза а?

• Почему колебания груза, подвешенного на наклонных пружинах, будут гармоническими только при достаточно малых амплитудах? В каком смысле следует здесь понимать малость амплитуд?

Рис. 177. Фазовый «портрет» маятника с двумя устойчивыми положениями равновесия
§ 44. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС

295

• Поясните, почему сила, определяющая движение поезда в прорытом в Земле прямом туннеле, пропорциональна расстоянию от середины туннеля.

• Нарисуйте примерные графики колебаний маятника между полюсами электромагнита (задача 4) для разных энергий маятника.

§ 44. Вынужденные колебания. Резонанс

До сих пор мы рассматривали собственные колебания, т. е. колебания, происходящие в отсутствие внешних воздействий. Внешнее воздействие было нужно лишь для того, чтобы вывести систему из состояния равновесия, после чего она предоставлялась самой себе. Дифференциальное уравнение собственных колебаний вообще не содержит следов внешнего воздействия на систему: это воздействие отражается лишь в начальных условиях.

Установление колебаний. Но очень часто приходится сталкиваться с колебаниями, которые происходят при постоянно присутствующем внешнем воздействии. Особенно важен и в то же время достаточно прост для изучения случай, когда внешняя сила имеет периодический характер. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» свое начальное состояние, колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным процессом.

Синусоидальное воздействие. Рассмотрим вначале наиболее простой случай вынужденных колебаний осциллятора под действием внешней силы, изменяющейся по синусоидальному закону:

F(t) = F0 c°s со*. (1)

Такое внешнее воздействие на систему можно осуществить различными способами. Например, можно взять маятник в виде шарика на длинном стержне и длинную пружину с малой жесткостью и прикрепить ее к стержню маятника недалеко от точки подвеса, как показано на рис. 178. Другой конец горизонтально расположенной пружины следует заставить двигаться по закону В cos соt с помощью кривошипно-шатунного механизма, приводимого в движение электромотором. Действующая

Рис. 178. Возбуждение вынужденных колебаний маятника
296

IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

на маятник со стороны пружины вынуждающая сила будет практически синусоидальна, если размах движения левого конца пружины В будет много больше амплитуды колебаний стержня маятника в точке закрепления пружины С.

Уравнение движения. Уравнение движения для этой и других подобных систем, в которых наряду с возвращающей силой и силой сопротивления на осциллятор действует вынуждающая внешняя сила, синусоидально изменяющаяся со временем, можно записать в виде

т'х = — кх — (Зх + F0 cos cot. (2)
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 149 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed