Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
• Определите значения амплитуды А и начальной фазы а при возбуждении колебаний осциллятора начальным толчком из положения равновесия.
• Докажите, что изображающая точка на фазовой плоскости для гармонического осциллятора описывает эллипс по часовой стрелке. С какой угловой скоростью поворачивается на фазовой плоскости радиус-вектор изображающей точки?
• Как нужно выбрать масштаб по оси ординат фазовой диаграммы, чтобы фазовая траектория гармонического осциллятора превратилась в окружность?
д Линейные и нелинейные системы. Среди всех систем, в которых возможны колебания, гармонический осциллятор выделяется рядом замечательных особенностей. Прежде всего, как уже отмечалось, это изохронность колебаний, т. е. независимость их периода от амплитуды (или от полной энергии). Например, на рис. 164 изображающие точки обходят оба эллипса, соответствующие разным значениям энергии осциллятора, за одинаковое время.
Чтобы собственные колебания происходили по гармоническому закону, возвращающая сила должна быть пропорциональна смещению из положения равновесия, а потенциальная энергия — квадрату смещения: F = — кх, Еп = кх2/2. Такие колебательные системы называются линейными, так как их поведение описывается линейным дифференциальным уравнением (5) — в уравнение искомая функция x(t) и ее производная х входят в первой степени.
Реальные физические системы, как правило, такими свойствами не обладают. Например, при больших деформациях пружина уже не подчиняется закону Гука. Однако во всех системах устойчивому положению равновесия соответствует минимум потенциальной энергии. Поэтому поведение потенциальной энергии вблизи этого положения можно аппроксимировать квадратичной зависимостью от смещения. Это значит, что при малых колебаниях вблизи устойчивого равновесия любую систему приближенно можно считать гармоническим осциллятором.
Ранее при обсуждении фазовых диаграмм был рассмотрен маятник в виде материальной точки, подвешенной на легком стержне. Потенциальная энергия маятника при произвольных смещениях из положения равновесия выражалась формулой
E„ = mgl( 1—costp), (17)
§ 41. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
277
или, что то же самое,
Еп = Imgl sin2 (ф/2).
(17а)
При малых значениях аргумента (ф<к 1) косинус можно приближенно представить в виде
1 1 2 COS ф = 1 — 2 <р •
Поэтому при малых ф формула (17) дает квадратичную зависимость потенциальной энергии от угла отклонения:
Еи = у mgl у2.
(18)
Это же выражение немедленно следует из (17а) с учетом того, что при <р<к:1 можно положить sin (ф/2) = ф/2. Такая аппроксимация потенциальной энергии по казана штриховой линией на рис. 166.
Учитывая, что скорость v материальной точки на конце стержня может быть записана как /ф, для полной энергии при малых смещениях имеем
Е = ^ т/2ф2 + ~ mgly2.
Рис. 166. Потенциальная энергия математического маятника (сплошная линия) и гармонического осциллятора (штриховая линия)
Сравнивая эту формулу с (15), видим, что при малых отклонениях от вертикали математический маятник, т. е. подвешенный
на легком стержне грузик, представляет собой гармонический осциллятор. Период его колебаний не зависит от амплитуды.
Легко написать формулу, выражающую частоту ш0 малых собственных колебаний маятника через его параметры. Квадрат частоты собственных колебаний осциллятора, определяемый формулой (4), равен отношению коэффициентов при квадратах смещения и скорости в выражении (15) для полной энергии осциллятора. Такое отношение для математического маятника в соответствии с (19) равно
“о = 7 (20)
Для периода собственных колебаний Т = 2к/ш0 отсюда получаем
Т = 2к{^. (21)
'g
Уравнение колебаний системы, энергия которой дается выражением (19), имеет вид (5), где под л; следует понимать угол ф
278
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
отклонения от вертикали:
ip + Шдф = 0.
(22)
Обратим внимание на то, что период колебаний математического маятника оказался не зависящим от его массы. Так получилось потому, что масса входит множителем в коэффициенты как при ip2, так и при ф2 в выражении (19) для энергии маятника и сокращается при переходе к (20). Следует, однако, отдавать себе отчет в том, что фактически в выражение для потенциальной энергии входит тяжелая (гравитационная) масса тг, а в выражение для кинетической энергии — инертная масса тин. Поэтому сокращение масс при получении формулы (20) для частоты возможно только при условии их пропорциональности. Таким образом, независимость периода колебаний математического маятника от массы груза, которая с высокой точностью подтверждается на опыте, служит еще одним экспериментальным подтверждением эквивалентности инертной и гравитационной масс.
Ангармонический маятник. При больших амплитудах колебания маятника описываются нелинейным уравнением
