Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
\ кх\ + С = 0.
Тогда С = —kxyi и потенциальная энергия системы Еп произвольной точке х выражается формулой
Еи = j к(х + х0)2- mgx кх\ = | кх2. (12)
Полная механическая энергия системы Е = ЕК + Еп при колеба-
ниях остается неизменной, так как система консервативна. В этом можно убедиться и непосредственно, подставляя смещение х и скорость v из (10) в выражение для энергии:
Е — mv2 + кх2 = ^ ти>2А2 sin2 (wQt + а) +
+ к A2 cos2 (w0t + а) = -j к А2 = ^ то^А2, (13)
Из этой формулы видно, что неизменная полная энергия системы Е совпадает с потенциальной энергией Еп в точках наибольшего
Рис. 162. Графики смещения, кинетической и потенциальной энергий при гармонических колебаниях
отклонения от положения равновесия, т. е. при х = ± А, и совпадает с кинетической энергией ЕК при прохождении груза через положение равновесия, где его скорость vx = ± ш0А
При взаимных превращениях потенциальная и кинетическая энергия совершают гармонические колебания с одинаковой ампли-
274
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
тудой Е/2 в противофазе друг с другом и с частотой 2ш0. Чтобы убедиться в этом, преобразуем выражения для кинетической и потенциальной энергий с помощью формул для тригонометрических функций половинного аргумента:
EK(t) = у тш^А2 sin2 (ш0? + а) = Цг [1 — cos 2(ш0? + а)],
(14)
En(t) = - кА2 cos2 (ш0? + а) =у [1 + cos 2(ш0? + а)].
На рис. 162 приведены графики зависимости от времени смещения груза x(t), кинетической энергии EK(t) и потенциальной энергии E„(t). Штриховыми линиями на этих графиках показаны средние значения кинетической и потенциальной энергии. Эти средние значения равны друг другу и составляют половину полной энергии Е.
Фазовые траектории. Построим фазовые траектории для гармонического осциллятора. Уравнение фазовой траектории представляет собой уравнение закона сохранения энергии:
= Е.
(15)
Разделив обе части уравнения (15) на Е, приводим его к виду
2 Elk 2 Elm
1.
(16)
полуосями
Рис. 163. Фазовая траектория гармонического осциллятора
Это уравнение эллипса с у/2Е/к и V2Е/т (рис. 163).
При колебаниях состояние осциллятора изменяется таким образом, что изображающая точка движется по эллипсу по часовой стрелке и совершает полный оборот за время, равное периоду колебаний Т = 2л;/ш0. В этом легко убедиться с помощью формул (10), дающих зависимость л: и vx от времени. Из этих формул, разумеется, можно получить и само уравнение фазовой траектории (16), если исключить из них время. Для этого нужно обе части первой из формул (10) разделить на А, второй — на со0Д возвести получившееся в квадрат и сложить, учитывая, что cos2 (3 + sin2 р = 1. В результате получим
1,
A* (ojqAV
что совпадает с (16), ибо полную энергию осциллятора Е можно записать в одном из следующих видов:
Е = -гкА2
§ 41. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
275
ИЛИ
Е = \ тш2Л2.
Сопоставим фазовую траекторию осциллятора с графиком потенциальной энергии (рис. 164). На верхней части рисунка изображена потенциальная энергия осциллятора и показаны два значения полной энергии системы Еу и Ег. На нижней части изображены две фазовые траектории осциллятора, соответствующие колебаниям с такими значениями энергии. Скорость обращается в нуль в тех точках, где потенциальная энергия становится равной полной энергии,
Рис. 164. Потенциальная Рис. 165. Связь фазовой траектории осцилля-
энергия и фазовая энергия ос- тора с графиками смещения и скорости
циллятора
т. е. в точках максимального смещения из положения равновесия. Скорость максимальна при прохождении положения равновесия л: = 0, где потенциальная энергия обращается в нуль.
Масштаб графика фазовой траектории по оси vx произволен и не связан с графиком потенциальной энергии. Удобно масштаб графика выбрать так, чтобы одинаковые отрезки соответствовали единице по оси х и о0 по оси vx. Тогда при любой амплитуде колебаний А полуоси эллипса на фазовой диаграмме А и ш0Л будут одинаковы и эллипс превратится в окружность (рис. 165). Точка, изображающая состояние осциллятора, движется по этой окружности по часовой стрелке с постоянной скоростью. Из рис. 165 видна связь движения изображающей точки в фазовой плоскости с временной зависимостью координаты x(t) и скорости vx(t) осциллятора. При построении фазовых диаграмм удобно выбирать масштаб по осям именно таким образом.
276
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
• Покажите, что период гармонических колебаний, описываемых формулой (6), связан с их циклической частотой со0 соотношением (7).
• Какими физическими условиями определяются частота, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний гармонического осциллятора?
