Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
т-L-Zft
V V
так как период косинуса равен 2л. Циклическая частота ш0 измеряется в радианах в секунду (рад/с).
Фаза колебаний. Весь аргумент косинуса в (6) называется фазой колебаний, а значение фазы при t = 0, т. е. постоянная а, — начальной фазой. Фаза измеряется в радианах (рад). Зная амплитуду и фазу колебаний, можно по выражению (6) определить механическое состояние системы.
Начальные условия. Значения амплитуды А и начальной фазы а определяются начальными условиями, т. е. способом возбуждения колебаний. Если, например, груз на пружине отклоняют из положе-
§ 41. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
271
ния равновесия на расстояние х0 и отпускают без толчка, то начальные условия имеют вид
x(0) = x0, х(0) = и(0) =0.
Подставляя эти начальные условия в левую часть (6) при ( = 0 и в получаемое из (6) выражение для скорости v(t):
v(t) = x(t) = — Ла)0 sin (co0? + а), (7)
приходим к системе уравнений для определения А и а: х0 = A cos а, 0 = — Лсо0 sin а.
Отсюда следует, что А = х0 и а = 0, т. е. колебания осциллятора при таком способе возбуждения описываются функцией
х(() = х0 cos а>0(. (8)
Если колебания возбуждают толчком из положения равновесия, мгновенно сообщая грузу начальную скорость v0, что соответствует начальным условиям х(0) = 0, и(0) = х(0) = v0, то для А и а можно
получить значения А = V(Ju>0, а = —л/2. Колебания в этом случае
описываются функцией
х(() = — sin а>п(. (9)
"о 0
Изохронность осциллятора. Частота а>0 собственных колебаний, в отличие от амплитуды и начальной фазы, не зависит от способа возбуждения, а определяется исключительно свойствами самой системы. В независимости периода колебаний от начальных условий заключается так называемое свойство изохронности гармонического осциллятора.
Убедиться в том, что функция (6) является решением уравнения гармонических колебаний (5), можно непосредственной подстановкой. Но можно это сделать и иначе, воспользовавшись удобным графическим методом изображения колебаний.
Векторные диаграммы. Рассмотрим равномерное движение точки по окружности радиуса А с угловой скоростью со0 (рис. 161а). Пусть в начальный момент радиус-вектор г этой точки образует угол а с осью х. Спроецируем теперь на эту ось радиус-вектор движущейся точки г, ее скорость v и ускорение а. Учитывая, что при равномерном движении точки по окружности ее скорость направлена по касательной, а ускорение — к центру окружности (рис. 1616), получаем
x(t) = A cos (a>0t + а), vx(t) = — ш0А sin (соQt + а), ax(t) = —а>%А cos (со^ + а).
272
IV. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Мы воспользовались тем, что при движении по окружности модуль скорости v связан с радиусом окружности А и угловой скоростью со0 соотношением v = u>QA, а модуль ускорения — соотношением
X,
( \
б
Рис. 161. Связь гармонических колебаний с равномерным движением по окружности
а = ш^А. Из формул (10) видно, что проекция ускорения ax(t) в любой момент времени пропорциональна смещению x(t), точно так же как и в уравнении (3) (или (5)):
я*(0 = -а>о*(0- (П)
Отсюда следует, что уравнение (5) описывает движение, происходящее по синусоидальному закону (10).
Подчеркнем еще раз, что при гармонических колебаниях любой физической природы, которые происходят по закону (10), частота со0 оказывается зависящей только от свойств системы, в которой происходят колебания, но не зависит от амплитуды колебаний. В одной и той же системе могут происходить колебания определенной частоты, которая, например, дается формулами (4), но разной амплитуды. Амплитуда колебаний А и начальная фаза а определяются не свойствами самой системы, а тем способом, каким в системе вызваны колебания. Колебания, происходящие в системе в результате вывода ее из состояния равновесия, после чего система предоставляется самой себе, будем называть собственными колебаниями. В отсутствие трения собственные колебания иногда называют свободными.
Энергетические превращения. Рассмотрим энергетические превращения, происходящие при свободных гармонических колебаниях.
При механических колебаниях груза на пружине происходит периодическое превращение кинетической энергии движущегося груза Ек и потенциальной энергии Еп системы, которая состоит из потенциальной энергии деформированной пружины и потенциальной энергии груза в поле тяжести. Потенциальная энергия деформированной пружины пропорциональна квадрату ее удлинения х + х0
(см. рис. 158) и, следовательно, равна к(х + х0)2/2. Потенциальная энергия груза в поле тяжести равна —mgx + С.
§ 41. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
273
Выберем для удобства произвольную постоянную С таким образом, чтобы полная потенциальная энергия системы была равна нулю в положении равновесия:
