Физика для углубленного изучения 1. Механика - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Fx= — (2к cos2 fi) дг. (11)
Мы видим, что при малых смещениях возвращающая сила направлена к положению равновесия и пропорциональна смещению. Поэтому для частоты колебаний со0 можно написать
, 2к cos2 6 ,, ~,
сол =--------. (12)
и т
Отметим, что рассмотренная простейшая физическая модель данной системы в действительности содержит ряд тонких моментов, заслуживающих более подробного обсуждения.
Условия применимости модели. В приведенном выше решении был рассмотрен случай малых колебаний. В каких пределах справедливо это приближение, или, другими словами, при каких максимальных амплитудах колебания еще остаются гармоническими и их частота определяется формулой (12)?
Прежде всего, обратим внимание на то, что для применимости принятой модели при колебаниях груза пружины должны все время оставаться в растянутом состоянии. В противном случае, когда при движении вверх от положения равновесия растяжение пружин сменяется их сжатием, возможно отклонение системы из вертикальной плоскости, сопровождающееся поперечными раскачиваниями. Ограничения на амплитуду колебаний, накладываемые этой причиной, оценить очень просто. Очевидно, что смещения груза вверх при колебаниях не должны превосходить первоначального сдвига положения равновесия вниз под действием силы тяжести. Если растяжение пружин весом груза мало по сравнению с их длиной в недеформируемом состоянии, то вызванный весом груза сдвиг вниз дгт можно оценить по той же формуле (11), подставляя в нее mg в качестве действующей силы:
_ т8
Хт 2*cos2P' ( 3)
Другое ограничение на допустимую амплитуду колебаний связано с применимостью линейного по смещению дг выражения (11) для возвращающей силы. Для исследования этих ограничений будем считать, что груз может скользить без трения по вертикальным направляющим (чтобы не думать об ограничениях, накладываемых условием (13)), и рассмотрим вертикальные смещения груза, не считая их малыми (см. рис. 173).
Обозначив через I длину растянутой пружины при смещении груза на расстояние дг вниз, а через 10 — длину пружины, когда груз находится в положении равновесия, с помощью теоремы косинусов можно написать
I — V/§ + дг2 + 2/0дг cos [3. (14)
Здесь дг может быть любым. Будем, однако, считать, что смещение дг все
же мало по сравнению с длиной 10 пружины в положении равновесия. А
именно, предположим, что
х <к 210 cos p. (15)
§ 43. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В РАЗНЫХ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 291
Тогда в (14) можно пренебречь в подкоренном выражении слагаемым х2 и, используя приближенную формулу \/1 + а = 1 + а/2(а<зс 1), записать удлинение пружины в виде
Д/ = / — /0 = х cos р. (16)
Это выражение совпадает с (9), записанным в предположении «малых» смещений х.
Таким образом, условие малости смещений, при которых справедливо выражение (9), дается формулой (15). При выполнении условия (15) связь между возвращающей силой и смещением можно считать линейной (формула (11)), а осциллятор — гармоническим. Значения смещений при которых справедливо (15), не должны превосходить значения jcm, даваемого формулой (13). В противном случае реальное поведение груза на пружинах кроме гармонических колебаний в плоскости пружин будет включать в себя поперечное раскачивание.
3. Туннель сквозь земной шар. В земном шаре прорыт прямой туннель, соединяющий две точки на его поверхности. Сколько времени будет двигаться в таком туннеле от одного конца до другого поезд с выключенными двигателями, если пренебречь трением и влиянием вращения Земли?
Решение. Характер движения поезда в отсутствие трения определяется лишь проекцией силы тяжести на направление туннеля. Если считать Землю однородным шаром, то, как было установлено ранее, сила тяжести в глубине направлена к центру Земли и пропорциональна расстоянию г от центра:
F(r)=mgj, (17)
где mg — сила тяжести на поверхности Зем- Рис' Движение в туннели, „ прорытом сквозь земной шар
ли, R — ее радиус.
Пусть туннель прорыт так, как показано на рис. 174. Очевидно, что в точке О, расположенной посередине туннеля, сила тяжести направлена «вниз», перпендикулярно туннелю. В произвольной точке А туннеля, отстоящей на расстояние х от его середины, сила тяжести F (г) направлена под некоторым углом. Ее составляющую Fx вдоль туннеля можно найти, рассматривая подобные треугольники на рис. 174:
F. х F(r) г'
где г — расстояние от точки А до центра Земли С. Отсюда F = F(г) х/г. Подставляя сюда F(r) из (17), получаем
