Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
(5). ^
9. ПАРАДОКС ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 259
оба шарика заряжены и энергия их взаимодействия
1 <7i?2 _ _J____
4ле0 г 4ле„ 4 г
Объяснить возникающий парадокс: до соединения один из шариков не был заряжен, и, следовательно, энергия их взаимодействия была равна нулю. После соединения шариков, как видно из формулы (1), энергия их взаимодействия стала положительной, т. е. увеличилась. Откуда взялась эта энергия?
д Из закона сохранения энергии следует, что электростатическая энергия шариков могла только уменьшиться. В самом деле, при соединении шариков и перетекании заряда в соединительном проводнике выделяется теплота. При соединении могла проскочить искра, что неизбежно связано с превращением электрической энергии в другие виды энергии. Возникающее противоречие с законом сохранения энергии может означать только то, что в приведенных в условии задачи рассуждениях что-то не учтено. Что же именно?
Дело в том, что энергия взаимодействия заряженных тел — это еще не вся электростатическая энергия. Энергия взаимодействия, выражаемая формулой (1), равна работе внешних сил при сближении заряженных тел из бесконечности до расстояния г между ними. Но эта формула не учитывает энергию электростатического взаимодействия отдельных частей каждого из заряженных тел между собой, так называемую собственную энергию заряженных тел. Собственная энергия заряженного тела равна работе внешних сил, которая совершается при сообщении телу электрического заряда. Как найти эту энергию?
Рассмотрим уединенное заряженное тело. Его собственная энергия не зависит от того, каким способом оио было заряжено. Поэтому рассмотрим такой процесс зарядки, для которого легче всего сосчитать работу внешних сил. Пусть Заряд переносится на тело настолько малыми порциями Aq', что влиянием поля малого заряда на распределение уже сообщенного телу заряда можно пренебречь. Тогда работа А А, совершаемая при перемещении Ад' из бесконечности на тело, равна произведению переносимого заряда Aq' на потенциал тела ср'. Потенциал металлического тела в любой момент связан с находящимся на нем зарядом q' соотношением <f'=q'IC, где С — емкость уединенного тела.
260
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Поэтому для работы ДА получаем
(2)
Суммируя работы ДА по переносу всех порций заряда Aг/', пока заряд тела не станет равен q, получаем для собственной энергии выражение
Емкость уединенного металлического шара радиуса R равна 4лг0Л\ поэтому собственная энергия такого шара, имеющего заряд q, дается выражением
Возвратимся теперь к рассматриваемому парадоксу. В начальном состоянии, когда энергия взаимодействия шариков равна нулю, система все-таки обладает электростатической энергией, которая равна собственной энергии заряженного шарика. Эта энергия дается формулой (4). В конечном состоянии, после соединения шариков, электростатическая энергия системы складывается из энергии их взаимодействия, выражаемой формулой (1), и собственных энергий каждого из шариков. Поскольку шарики находятся на большом расстоянии друг от друга, то можно считать, что заряды распределены на них равномерно. Это значит, что собственная энергия каждого из них определяется таким же выражением, как и для уединенного шара. Заряды шариков теперь равны q!2, поэтому для полной электростатической энергии системы в конечном состоянии имеем
Сравнивая выражения (4) и (5), видим, что полная электростатическая энергия системы в результате соединения шариков уменьшилась:
(3)
1 (9/S)2 , 1_____?
(6)
так как r>R. Разность Wi—W' равна количеству электростатической энергии, которая перешла в другие виды энергии при соединении шариков.
9. ПАРАДОКС ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 261
Итак, полная электростатическая энергия системы заряженных тел складывается из их собственных энергий и энергии их взаимодействия. Такое разбиение энергии становится особенно наглядным, если электростатическую энергию системы рассматривать как энергию электрического поля. По принципу суперпозиции электрическое поле Е системы двух тел с зарядами и q2 равно векторной сумме полей Ег и Ег, создаваемых каждым из тел в отдельности. Объемная плотность энергии электрического поля, пропорциональная квадрату напряженности, распадается на три слагаемых в соответствии с выражением
= (Е* + Е,У = Е\ + Е\ + 2 (Et ¦ Et). (7)
Первые два слагаемых в правой части соответствуют объемной плотности собственных энергий зарядов qt и q2, а третье слагаемое соответствует энергии взаимодействия этих зарядов друг с другом. Именно эта часть полной электростатической энергии системы и дается формулой (1). Если бы, решая задачу о соединении шариков, мы с самого начала рассматривали электростатическую энергию системы как энергию электрического поля, то парадокса вообще не возникло бы.
