Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Точно так же напряжение между точками А и F, с одной стороны, равно ЭДС Si, с другой — сумме напряжений т конденсаторах С* и С3:
Ui 'Ь U, — Si- (4)
Двух написанных уравнений (3) и (4) недостаточно для определения трех неизвестных напряжений t/lt U2 и U?1. Поэтому нужно написать еще одно уравнение. Если мы попытаемся, рассуждая так же, как и раньше, рассмотреть разность потенциалов между точками D и Л, то придем к уравнению
иг — и 3 = S2. (5)
Однако легко видеть, что это уравнение не поможет в определении неизвестных, так как оно является следствием двух
написанных ранее уравнений: вычитая почленно уравнение (4) из (3), получаем уравнение (5).
Третье независимое уравнение можно получить так же, как и в случае последовательного соединения конденсаторов, учитывая условие электронейтральности соединенных между собой обкладок конденсаторов, не имеющих контакта
Рис. п.з. обведенной
пунктиром час-
ти схемы равен нулю
270 VI- ЭЛЕКТРОСТАТИКА
с полюсами источников. Эта электронейтральная система обкладок обведена штриховой линией на рис. 11.3. В отличие от случая последовательного соединения конденсаторов, это условие приводит не к равенству их зарядов, а к требованию равенства нулю алгебраической суммы зарядов указанных обкладок:
ClUl-CiUt-CbUb=0. (6)
Уравнение (6) вместе с любыми двумя из уравнений (3), (4) и (5) образует систему для нахождения неизвестных Uit U2 и U3. Выразим, например, U3 из уравнения (6):
Ut=c1ul-c^t (7)
^3
и подставим в (4):
U,(\+C1/C3)~U3CjC3 = SL. (8)
Теперь можно уравнение (3) умножить почленно на отношение Са/Сз и сложить с уравнением (8). В результате
находим
II (Si Cl -{-S'tC.I ,-ni
Ul~ C, + C2 + C3 • W
Выражение для U2 можно теперь написать сразу, пользуясь симметрией схемы и меняя в выражении (9) индексы 1 и 2 местами:
л (dS\ + $г) Ci-\-<c>2C3 /1ПЧ
и* — cL+c2+c3 ¦
Те, кто сомневаются в законности такой операции, могут подставить из (9) найденное значение Ui в уравнение (8) и вычислить U2. Для определения U3 значения [Д и (У2 из (9) и (10) нужно подставить в выражение (7):
п __ 2 /11ч
3~ сх+с2+с, • I11)
Отметим прежде всего, что значения L\ и U2 получаются положительными при любых значениях ЭДС и емкостей конденсаторов. Это значит, что знаки зарядов обкладок конденсаторов Cf и С2 действительно всегда такие, как указано на рис. 11.3. Значение U3, как видно из формулы (11), может быть и положительным, и отрицательным. Если Ci??>C2(o г, то (73>0 и знаки зарядов обкладок конденсатора Сз будут такими, как показано на рис. 11.3. Если же Сх$1<1Сг$г, то U3<0. Это означает, что полярность на-
12. ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ В ЦЕПИ С КОНДЕНСАТОРАМИ 271
пряжения на конденсаторе С3 будет противоположной указанной на рис. 11.3. Величина же этого напряжения дается модулем правой части выражения (11).
Полезно проверить правильность полученных результатов в очевидных предельных и частных случаях. Во-пер-вых, в симметричной схеме, когда <§х=<§2 и Сл—С2, напряжение Us между точками А и В должно быть равно нулю, а напряжения Ui n 'U2 должны быть одинаковыми и равными
Рис. 11.4. Такой вид принима- Рис. 11.5. Случай С3-юо 'со-
ет приведенная на рис. 11.1 схе- ответствует соединению точек
ма при С3— О А и В проводником
ЭДС источника <§. Видно, что формулы (9) — (11) приводят в этом случае именно к такому результату.
Во-вторых, при Сз=0, что соответствует отсутствию этого конденсатора, мы имеем последовательное соединение конденсаторов Сх и С2 (рис. 11.4). Формулы (9) и (10) при С3=0 совпадают с выражениями (2), если в них под приложенным напряжением U понимать сумму <?i+<?V Формула (11) при С3=0 дает значение напряжения между точками Л и В в схеме на рис. 11.4:
/ г Ck^i — Сг$г по\
АВ~ Cj + C, • I- >
Наконец, случай С3 -> оо соответствует соединению точек А и В проводником (рис. 11.5). При этом напряжение на каждом конденсаторе равно ЭДС того источника, параллельно с которым он соединен: U^Si, U2=<§2. Именно это и получается из формул (9) и (10), так как при С3 оо в числителях и знаменателях этих формул можно пренебречь слагаемыми, не содержащими С3. Напряжение Ua, как видно из (11), при этом стремится к нулю. А.
12. Переключения в цепи с конденсаторами. Собрана электрическая цепь, схема которой показана на рис. 12.1.
272
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
