Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
где Ai и А г — произвольные постоянные. Решение (6) уравнения (4) содержит две постоянные, поскольку это уравнение как рекуррентное соотношение определяет значение Un по двум предшествующим значениям Un_i и
Поскольку уравнение (5) имеет точно такой же вид, как и (4), его решение совершенно аналогично (6):
Каким образом можно найти значения постоянных А и В в выражениях (6) и (7)? Очевидно, что выражения (6) и (7) должны давать правильные значения для уже известных напряжений и токов в первом и во втором звеньях. Для первого звена (п— 1) Lh—SR, I!=1, поэтому
Совершенно аналогично для второго звена (п=2), г^е fA= = 11/?, /г=4, имеем
Из выражений (8) и (9) определяются значения постоянных
Вместо того чтобы использовать уравнения (9), можно ввести формально «нулевое» звено и с помощью рекуррентных соотношений (4) и (5) найти U0=R, /„=0.
Если взглянуть на схему, изображенную на рис. 3.2, можно убедиться, что эти величины имеют физический смысл: [/, и /, суть напряжение и ток для несуществую-
уравнение для х: х2—4х+1=0. Корни его х1л^--2 + ]/ 3.
Ia=*Bi(2 + V3)n+Bt(2-V3)n.
(7)
At( 2 + КЗ) + Л,(2-КЗ) = ЗЯ
В,(2 + КЗ) + Я, (2-|/з)=1.
(8)
А,(2 + VЗ)2 + А2 (2-VЗ)2 = 11R, B1(2 + /3)2 + B,(2-/3)a = 4.
(9)
Ait Air Siy
(10)
3. СОПРОТИВЛЕНИЕ ЦЕПОЧКИ
287
щего «нулевого» звена. Тогда для упрощения алгебры при нахождении постоянных А и В вместо (9) можно использовать соответствующие соотношения для нулевого звена:
Ai~\-A2 — R, fii+52=0.
Итак, для сопротивления цепочки из N звеньев, учитывая формулы (10), получаем
г, Un р(/з+1)(2+)Аз)л/ + (/з'-1)(2-)Аз)Л' пп " In ^ (2+ —(2— V"S)N ' К ’
С помощью этой формулы нетрудно найти сопротивление цепочки с бесконечным числом звеньев. Для этого нужно
А °-
-----CZJ
Рис. 3.3. Эквивалентная схема для цепочки с бесконечным числом одинаковых звеньев
Рис. 3.4. Какое сопротивление Rx следует подсоединить к концу цепочки, чтобы ее сопротивление не зависело от числа звеньев?
совершить предельный переход N -> оо. Проще всего это сделать, разделив почленно числитель и знаменатель на (2 + 1/3)" Вторые слагаемые в числителе и знаменателе после этого будут содержать множитель
(*=пу
V2+/3; ’
который стремится к нулю при N -*- оо. В результате для сопротивления R„ бесконечной цепочки получаем
= з-И). (12)
Сопротивление бесконечной цепочки можно рассчитать и независимо, причем это сделать проще, чем найти сопротивление цепочки с конечным числом звеньев. Идея такого решения заключается в том, что добавление еще одного звена к началу бесконечной цепочки не может изменить ее сопротивление. Но в этом случае мы сразу получаем эквивалентную схему, изображенную на рис. 3.3, причем сопро-
283
VII. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
тивление между точками А и В также равно С другой стороны, сопротивление между этими точками легко выразить через значения сопротивлений, входящих в цепь, изображенную на рис. 3.3. В результате получаем
Решая это квадратное относительно искомого сопротивления Rм уравнение, вновь находим значение, даваемое формулой (12). Второй корень уравнения (13) отрицателен и не имеет физического смысла.
Теперь выясним еще один вопрос. Какое сопротивление Rx нужно присоединить к концу цепочки, содержащей конечное число звеньев (рис. 3.4), для того, чтобы сопротивление получившейся цепочки не зависело от числа звеньев? Ответ на этот вопрос нам фактически уже известен: к концу цепочки нужно присоединить сопротивление Rx, равное R". В самом деле, в этом случае вся получившаяся схема будет эквивалентна бесконечной цепочке, сопротивление которой, как мы выяснили, равно (К3 + 1). Дру-
гими словами, подсоединение R^ к концу цепочки эквивалентно добавлению конечного числа звеньев к началу бесконечной цепочки. ^
4. Почему не меняется показание амперметра? Все
хорошо знают, что если изменять сопротивление, включенное в цепь (например, перемещать движок реостата), то
ток в цепи меняется. Однако при изменении Rt в схеме, приведенной на рис. 4.1, показание амперметра не меняется. В чем тут дело? При каком условии это возможно?
Л Не будем пока выписывать никаких формул. На поставленный вопрос можно ответить, просто внимательно посмотрев на схему. Если через батарею <^2 ток не идет, то изменение сопротивления Ri ни на что повлиять не может, в том числе и на показания амперметра. При отсутствии тока через Rt и <&2 батарея $ь амперметр и сопротивление R фактически образуют неразветвленную последователь-
(13)
'Т 1 Рис. 4.1. При изменении сопро-/д\ тивлеиия Ri показание ампермет-ра не меняется
5. ЕЩЕ ОДНА ЦЕПЬ С РЕОСТАТОМ
289
ную цепь. Итак, остается выяснить, при каком условии отсутствует ток в ответвлении, содержащем и Применяя к этому участку закон Ома для неоднородного участка цепи, легко убедиться, что ток равен нулю, когда напряжение на R равно ЭДС батареи <§2 (U=$2). Так как при этом
