Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
2. Измерение сопротивления в схеме. На рис. 2.1 показана часть схемы, состоящей из Егеизвестных сопротивлений. Как, имея омметр и соединительные провода, мож-
Рис. 1.1. Эквивалентная схема для расчета сопротивления между любой парой клемм
S. ИЗМЕРЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ В СХЕМЕ
283
не разрывая ни одного коп-
но измерить сопротивление R3 такта схемы?
А По условию задачи нельзя разрывать никаких соединений в этой цепи, но можно соединять проводами любые
точки, т. е. закорачивать некоторые участки. Используя провода, исходную схему всегда можно привести к виду, показанному на рис. 2.2.
Схема, изображенная на рис. 2.1, приводится к такому
Рис. 2.1. Участок разветвленной цепи, содержащей искомое сопротивление Rx
Рис. 2.2. К такому виду можно привести схему, показанную на рис. 2.1, с помощью дополнительных проводов
виду, если соединить накоротко точки А, В к С. Тогда роль Rx на рис. 2.2 будут играть параллельно соединенные сопротивления 1, 2 и 3 (рис. 2.1), а роль R2 играет сопротивление всей остальной разветвленной цепи между точками С и D. Нетрудно сообразить, что в общем случае схему, изображенную на рис. 2.2, из произвольной, содержащей Rx, можно получить, соединяя накоротко между собой концы всех резисторов, подключенных к искомому с одной стороны. (Если в схеме есть сопротивления, параллельные Rx, то определить Rx, не производя разъединений, невозможно: можно лишь определить общее сопротивление всех резисторов, включенных параллельно Rx.)
Теперь нахождение Rx не представляет никакого труда. Произведем следующие три измерения.
1. Закорачиваем точки Е и D и включаем омметр между точками А и D. Эквивалентная схема приведена на рис. 2.3а. Показание омметра гх связано с Rx и Rz соотношением
— + — = — . (1) + гг'
2. Закорачиваем точки Л и ? на рис. 2.2. Омметр, как и раньше, включен между точками
А и D. Эквивалентная
284
VII. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
схема изображена на рис. 2.36. Показание омметра связано с Rx и Rг соотношением
JL+-L = J-
Rx Г2
(2)
3. Закорачиваем точки А и D. Омметр включаем между точками Е и D (рис. 2.3е). Показание омметра г3 в этом
Л
Рис. 2.3. Для определения трех неизвестных сопротивлений в схеме на рис. 2.2 удобно произвести измерения, предварительно закоротив точки Е и D (а), А и Е (б), А и D (в)
случае подчиняется соотношению
+ г3
(3)
Складывая почленно уравнения (2) и (3) и вычитая уравнение (1), получаем
2_
R*
44-
Г 3
JL
П
3. Сопротивление цепочки. Найти сопротивление цепочки, состоящей из N звеньев (рис. 3.1). Сопротивление каждого резистора равно R.
Рис. 3.1. Штриховыми линиями показаны отдельные одинаковые звенья цепочки
Л Используемые в решении обозначения показаны на рис. 3.2. Применяя несколько раз закон Ома для участка
3. СОПРОТИВЛЕНИЕ ЦЕПОЧКИ
цепи, нетрудно получить соотношения
Un = 2IaR + Un_u (I)
Uп-\ — 2/n_tR 4- и„_гу (2)
un-i = Vn-in-i)R- (3)
Вычитая из уравнения (1) уравнение (2) и используя соотношение (3), получаем
Ua-Wn_t+Un_t = 0. (4)
Далее, приравнивая напряжение Un_i на участке ad сумме напряжений на участках ab, Ьс и cd, имеем
Vn-L-r) R = i«-iR + Un-1-1*-,) R + L-iR’
откуда
I „ — 4/„_i + 1„-г — 0. (5)
Искомое сопротивление RN определяется соотношением Rn~U jy/11v-
X* Xj In-j In.2 lz Ii
СЛт
U0 ft V
I I
Рис. 3.2. Обозначения токов и напряжений в отдельных участках цепочки из N звеньев
Полученные формулы (4) и (5) носят название рекуррентных соотношений, ибо они дают возможность найти ток и напряжение для ti-го звена цепочки, если известны эти величины для двух предыдущих звеньев. Примем ток 1Х в первом звене цепочки за единицу: /i=l. Тогда Ui=3R. Теперь для второго звена с помощью схемы на рис. 3.2 нетрудно найти /2=4, (/2=117?. Далее токи и напряжения ео всех последующих звеньях можно находить, последовательно применяя рекуррентные соотношения (4) и (5). Нельзя ли найти общую формулу, которая дала бы возможность сразу написать выражение для напряжения Un п тока 1п в п-м звене? Оказывается, можно. Для этого нужно найти функцию целого аргумента п, которая удовлетворяла бы уравнению (4) или (5).
«г О
286
VII. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Попробуем искать решение уравнения (4) в виде Un= —хп. Подставляя эту функцию в (4), получаем квадратное
Так как уравнение (4) линейное, ему удовлетворяет любая функция вида
ип = А+ АгХ? = А, (2 + /З)" + А2 (2 - V 3)п, (6)
