Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
VII. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Расчет электрических цепей постоянного тока основан на использовании закона Ома. Для однородного участка цепи закон Ома выражает связь между силой тока /, напряжением U и сопротивлением
Часть задач этого раздела посвящена расчету электрических цепей, не сводящихся к совокупности последовательно и параллельно соединенных проводников. В таких задачах очень часто учет симметрии рассматриваемой схемы значительно облегчает ее расчет.
Для замкнутой цепи, содержащей источник тока с ЭДС $ и внутренним сопротивлением г, закон Ома имеет вид
1 ^
Я+г •
Если участок цепи, к концам которого приложено напряжение U, содержит источник ЭДС, то сила тока находится с помощью закона Ома для неоднородного участка цепи:
u+S
/?+/¦
Под напряжением V на рассматриваемом участке понимается разность —<р2, где (fi — потенциал той точки, от которой течет
ток, а (р2 — потенциал точки, в направлении которой течет ток. ЭДС <§ в этой формуле берется со знаком плюс, если ток внутри источника направлен от отрицательного полюса к положительному, и со знаком минус в противоположном случае. Направление тока при этом выбирается произвольно. Если в результате расчета по этой формуле ток окажется отрицательным, то это означает, что в действительности он течет в сторону, противоположную выбранному направлению.
При протекании тока 1 по участку, к концам которого приложено напряжение U, за время Дt на этом участке электрическим полем совершается работа
ДЛ = W&t.
1. ПРОВОДА И КЛЕММЫ
261
В результате совершения этой работы в рассматриваемом участке цепи выделяется теплота, определяемая законом Джоуля — Ленца:
bQ = PRAt,
где R — сопротивление участка.
При изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, в этом контуре возникает ЭДС индукции, значение которой согласно закону Фарадея пропорционально скорости изменения магнитного потока:
АФ
ё-
Д /
Знак минус в этой формуле соответствует правилу Ленца, определяющему направление индукционного тока.
Расчет электрических цепей переменного тока основан на том, что при включении в сеть с синусоидальным напряжением сопротивления R, индуктивности L и электрической емкости С ток в цепи также является синусоидальным. Амплитудные значения тока /„ связаны с амплитудными значениями подаваемого на эти элементы напряжения V0 соотношениями
'•=ТГ' ‘•=ж-
На активном сопротивлении напряжение совпадает по фазе с током, на индуктивности напряжение опережает ток по фазе на л/2, на емкости — отстает от тока на я/2.
В последовательной цепи переменного тока, содержащей сопротивление R, емкость С и индуктивность L, между приложенным напряжением и током существует сдвиг по фазе. Если приложенное напряжение дается выражением U=U0 cos со/, то ток в цепи равен ]=10 cos(со/—<р),[где амплитудное значение тока /в и сдвиг по фазе <р определяются формулами
.____________U_q_______ . _ aL — 1/ыС
0 — V Я2 + (со^-1/шС)2 ’ Я '
1. Провода и клеммы. Имеются п клемм, каждая из которых соединена со всеми остальными клеммами одинаковыми проводниками сопротивлением R. Найти сопротивление между любыми двумя клеммами.
Л Прежде всего из симметрии схемы ясно, что сопротивление одинаково между любой парой клемм.
Рассмотрим вспомогательную схему (рис. 1.1). Две клеммы А и В соединены друг с другом проводником сопротивлением R, а остальные п—2 клеммы соединены с
282
VII. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
клеммами А и В такими же проводниками сопротивлением R, но не соединены друг с другом.
В этой схеме между клеммами А и В параллельно включены сопротивление R и п—2 сопротивлений по 2R. Поэтому полное сопротивление R Ав между клеммами А и В вычисляется по формуле
1 1 , п — 2 D 2 R
R^=-R+-liT' 0ТКУДЗ —'
Из симметрии схемы, изображенной на рисунке, видно, что если между клеммами А и В создать некоторую разность
потенциалов, то потенциалы остальных п—2 клемм будут равны между собой.
Соединим теперь проводниками сопротивлением R каждую иа п—2 клемм со всеми остальными. В этих проводниках тока не будет, и, следовательно, сопротивление RAB между клеммами А и В при этом не изменится. Но получившаяся в результате такого соединения схема совпадает с той, о которой говорится в условии задачи, так как в этой схеме каждая клемма соединена со всеми остальными проводниками сопротивлением R.
Итак, искомое сопротивление между любыми двумя клеммами равно 2R/n. Обратим внимание, насколько простым оказывается решение этой задачи при использовании соображений симметрии. Конечно, угадать вид ответа нетрудно, если рассмотреть последовательно простые легко рассчитываемые частные случаи для п, равных 2, 3 и 4. Но доказать, что угаданная формула, RAB=2R/ti, справедлива при любом числе клемм п, не так-то легко. В то же самое время, уловив совсем не очевидную на первый взгляд симметрию этой схемы, мы видим, что расчет общего случая оказывается не сложнее, чем при трех соединенных клеммах. ^
