Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть, например, ось молекулы ориентирована параллельно стенке сосуда. На рис. 4.4 показаны силы, действующие на заряды диполя со стороны диполя-изображе-ния. Из этого рисунка сразу видно, что взаимодействие диполя со стенкой носит характер притяжения, так как силы отталкивания Fi и F2, во-первых, меньше сил притяжения F, и Fi (расстояния между одноименными зарядами больше, чем между разноименными) и, во-вторых, направлены под некоторым углом 0.
F
4яе0 (2г)2
(1)
Рйс. 4.3. Действие индуцированных на стенке зарядов эквивалентно действию диполя-изображения
Рис. 4.4. Силы, действующиг на заряды диполя
242 VI. электростатика
Найдем результирующую силу притяжения. Равнодействующая сил притяжения F3 и направлена к стенке и равна по модулю
1 2q2
4ле0 (2т-)2
(2)
Модуль каждой из сил отталкивания Fi и Г2 дается выражением
1 <7г
4ле0 (2т-)2 + /2
(3)
Поскольку эти силы направлены под углом 0 (рис. 4.4), то их равнодействующая равна
1 2<?2 п _1_______2q*______2 г , .
4ле0 (2г)2 +/2 C0S — 4ле0 (2г)г + /2 УфгУ+Р * '
Будем считать, что расстояние I между зарядами, образующими диполь, мало по сравнению с расстоянием г до стенки. Тогда отношение l!r<cl, и равнодействующую силу отталкивания удобно выразить через малый безразмерный параметр y=(l!2r)i. Вместо выражения (4) при этом имеем
_____!__ /5ч
4ле0 (2г)2 1+Y V^l+Y ’
В выражении (5) сначала воспользуемся приближенной
формулой У\ + у « 1 у, а затем, перемножив знаменатели двух последних дробей,— приближенной формулой lj( 1 -f « 1—-|-V- В результате для силы отталкивания вместо (5) получим
1яе7 2 Щ* ( 1 Т У
Полная сила F взаимодействия диполя со стенкой представляет собой равнодействующую сил притяжения (2) и сил отталкивания (6):
г 1 3<?а
4яе0 (2г)*Ч' (7)
Подставляя сюда у=(112г)1 и вводя дипольный момент
p=ql, получаем
F = ——— (8)
4ле0 (2л)1
5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДИПОЛЯ
243
Обратим внимание на то, что хотя каждый из зарядов диполя взаимодействует со стенкой с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния до стенки, полная сила взаимодействия диполя со стенкой убывает с расстоянием гораздо быстрее — обратно пропорционально четвертой степени. Характер зависимости исследуемой силы взаимодействия от расстояния до стенки не зависит от ориентации диполя. Чтобы убедиться в этом, можно рассмотреть случай, когда ось диполя перпендикулярна стенке. Расчет будет еще проще, так как все четыре силы теперь направлены по одной прямой. Сила взаимодействия в этом случае оказывается в два раза больше, чем для диполя, параллельного стенке. Подчеркнем еще раз, что во всех случаях сила носит характер притяжения несмотря на то, что в целом диполь представляет собой электронейтраль-ную систему, А
5. Электрическое поле диполя. Рассмотреть электрическое поле, создаваемое диполем, т. е. двумя одинаковыми по модулю разноименными зарядами q и —q, находящимися на расстоянии /друг от друга. Найти потенциал и напряженность этого поля на расстоянии г, большом по сравнению с размером диноля /.
л Электрическое действие заряженного тела на расстоянии, большом по сравнению с его размерами, определяется полным зарядом этого тела Q. Чем дальше от тела, тем меньше отличается создаваемое им электрическое поле от поля точечного заряда: это поле обладает сферической симметрией, его потенциал убывает с расстоянием как 1 !г, а напряженность — как 1/г\
Если же тело в цело.м электрически нейтрально, т. е. его полный заряд Q равен нулю, то это вовсе не означает, что оно совсем не создает электрического поля. Как мы видели в предыдущей задаче, нейтральная молекула, обладающая дипольным моментом, вызывает появление индуцированных зарядов на металлической поверхности. Значит, диполь создает электрическое поле. Рассчитаем это поле. Рассматривая его как суперпозицию полей точечных зарядов q и —q, выражение для потенциала ср в точке А, отстоящей от зарядов q и — q на расстояния гг и гг (рис. 5.1), можно записать в виде
Гу Гг
_J____ Ч {r2—ri)
4яе0 туГъ
(О
244
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Диполь принято характеризовать дипольным моментом р\ модуль которого равен произведению ql, а направление выбирается вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Для описания поля на большом расстоянии от диполя удобно вместо расстояний Гх и г2 ввести расстояние г от центра диполя и угол 0 между вектором дипольного момента и направлением на точку наблюдения (рис. 5.1). Как видно из рис. 5.1, при Ur<cl разность расстояний г2—гх можно записать в виде
г2—rx~l cos 0. (2)
В том же приближении произведение гхг% в знаменателе формулы (1) можно заменить на г2. В результате формула (1) для потенциала ф принимает вид
