Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
1 ql COS 0 ]
циала диполя в точке А
ц>--
4ле„
4яе„
cost
(3)
В отличие от потенциала поля точечного заряда, убывающего как 1/г, потенциал электрического поля диполя убывает с расстоянием быстрее — как 1/л2. Разумеется, поле диполя не обладает сферической симметрией, поэтому его потенциал зависит не только от расстояния г, по и от направления на точку наблюдения, характеризуемого углом 0.
При вычислении напряженности поля в точке А можно, как и при вычислении потенциала, исходить из того, чт.о поле диполя есть суперпозиция полей точечных зарядов а и —q. Поэтому напряженность поля Е равна векторной сумме напряженностей Е+ и Е_, создаваемых этими зарядами (рис. 5.2а). Модули этих напряженностей даются выражениями
1 q р — 1 q (4)
4лр„
Интересующий нас результирующий вектор Е удобно представить как сумму двух взаимно перпендикулярных составляющих, одна из которых, Ег, направлена вдоль радиус-вектора г, характеризующего положение точки А ст-
5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ДИПОЛЯ
245
иосительно центра диполя, а другая, Ев, перпендикулярна ей (рис. 5.2б).
На больших расстояниях от диполя, когда //r<C 1, векторы Е+ и Е_ направлены почти в противоположные стороны (угол между ними отличается от я на малую величину б) и мало отличаются по модулю (рис. 5.26). Поэтому при нахождении Ег, как видно из рис. 5.2, нужно учитывать
Рис. 5.2. Напряженность поля диполя Е можно представить как сумму векторов Е+ и ?_ (а) или как сумму векторов Ег и Еа (б)
различие векторов Е+ и Е_ по модулю, но можно пренебречь тем, что они направлены не строго в противоположные стороны. Наоборот, при вычислении Eq можно пренебречь различием векторов Е+ и Е_ по модулю, но нужно обязательно учесть их неколлинеарность. Таким образом, для Ег можно написать
Учитывая, что //г<С 1, можно заменить в знаменателе этого выражения rtr2 на г2, а в числителе сумму г!+г2 на 2г, разность г2—гх на I cos 0. В результате получаем
_J_______ (/-l + 'a) (ra — ri)
4яе0 " (гуГ2)2
(5)
246
VI. ЭЛЕКТРОСТАТИКА
При вычислении Е0, учитывая, что угол б мал, можно написать
Е0жЕ+8. (7)
При подстановке сюда значения Е+ из формулы (4) можно Лх заменить на г. Для величины б, как видно из рис. 5.26, можно написать б ml sin 0/л. В результате выражение (7) принимает вид
1
4лег
-Чг sin 0.
(8)
Формулы (6) и (8) позволяют представить себе картину линий напряженности электрического поля диполя. В точках, лежащих на оси диполя (где угол 0 равен нулю или л), ?0=0, и, следовательно, напряженность направлена вдоль этой оси. Из формулы (6) видно, что ее направление совпадает с направлением ди-польного момента р как при 0=0, так и при 0=я. Действительно, при 0=я Ег отрицательно, но следует учитывать, что радиус-вектор г, на который проецируется вектор Е, направлен в сторону, противоположную вектору р. Во всех точках плоскости, перпендикулярной оси диполя и проходящей через его середину, для которых 0=л/2, радиальная составляющая Ег обращается в нуль. Напряженность поля в этих точках перпендикулярна плоскости и направлена в сторону, противоположную направлению дипольного момента р. Линии напряженности для расстояний, больших по сравнению с размерами диполя, схематически показаны на рис. 5.3. В пространстве картина линий напряженности симметрична относительно оси диполя.
Формулы (6) и (8) для напряженности поля можно получить и иначе, используя найденное выше выражение для потенциала (3). Для этого воспользуемся тем, что проекция напряженности поля на любое направление Es связана с изменением потенциала Лер при перемещении точки вдоль этого направления на расстояние As соотношением
Рис. 5.3. Картина линий напряженности поля диполя на большом расстоянии от него
Es = —Atp/As.
(9)
6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДИПОЛЕЙ
247
Рис. 5.4. К нахождению связи модуля перемещения As с изменением угла 0
Для нахождения Ег нужно совершить перемещение вдоль радиус-вектора, т. е. положить в (9) As равным Аг. Вычисляя с помощью формулы (3) предел отношения Дер/Аг при Дг->0, получаем для Ег выражение (6). Совершенно аналогично для нахождения Е0 нужно совершить перемещение As перпендикулярно радиус-вектору г в направлении возрастания угла 0. При этом, как видно из рис. 5.4, As=M0, и вычисление
г, 1 Ат
?в = --ж
с помощью формулы (3) приводит к выражению (8).
Формулы (6) и (8) важны потому, что они определяют электрическое поле на большом расстоянии не только для настоящего диполя, т. е. двух точечных разноименных
зарядов q и •—q, но и для любой электрически нейтральной системы зарядов, у которой центры положительных и отрицательных зарядов не совпадают. Таким образом, если тело со сложным распределением заряда, полная величина которого равна Q, на достаточно большом расстоянии кажется просто точечным зарядом, то при Q—0 такое тело будет уже похоже на диполь. Другими словами, для нейтрального в целом тела можно подобрать диполь с таким моментом р, что создаваемое этим диполем на большом расстоянии электрическое поле будет практически эквивалентно полю тела со сложным распределением заряда. ^
