Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
СрТ + jitcj2/2 = const. (7)
Этому уравнению можно придать вид, аналогичный уравнению Бернулли в гидродинамике идеальной жидкости. Для этого разделим уравнение (7) почленно на молярный объем VlL. Учитывая, что RT/V^—p, а ц/V^ есть плотность газа р, имеем
р -f- рсуТ + ри2/2 = const, (8)
где cv=Cv!\x — удельная теплоемкость газа. Первый к третий члены в левой части этого уравнения совпадают с соответствующими членами в уравнении Бернулли. В уравнении (8) отсутствует член pgh, выражающий плотность
204 V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
потенциальной энергии газа (или жидкости) в поле тяжести. Это связано только с тем, что в уравнении (1) не учитывалось изменение потенциальной энергии, так как струя предполагалась горизонтальной. Новым по сравнению с уравнением Бернулли является второй член в уравнении (8), который выражает плотность внутренней энергии газа. В несжимаемой жидкости плотность внутренней энергии неизменна, и ее не нужно учитывать в уравнении баланса энергии.
Соотношение (7) позволяет выразить скорость струи газа, вытекающей из отверстия в баллоне, через изменение температуры газа. Так как внутри баллона скорость направленного движения практически равна нулю, то
СРТ = СрТ j -|- \iv\j2, (9)
откуда для скорости струи и* получаем
vi=Yjcp(t-tJ‘ <Ш)
Для вычисления скорости струи по формуле (10) нужно знать температуру 7\ газа в струе. Ее можно найти с помощью уравнения адиабатического процесса. При истечении газа в вакуум скорость струи ивак можно оценить, полагая в формуле (10) Тj=0. Такая оценка разумна, ибо при расширении в. вакуум давление газа в струе падает до нуля и, следовательно, должна приближаться к нулю и его температура:
v^Y^cpt- w
Отметим, что кинетическая энергия направленного движения газа в струе возникает за счет внутренней энергии, т. е. энергии хаотического теплового движения молекул газа в баллоне. Скорость истечения определяется температурой и не зависит от давления. Независимость скорости истечения от давления связана с тем, что внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры.
Формуле (11) можно придать более удобный вид, если выразить Ср через y=Cp!Cv и газовую постоянную R:
CP=%Cr = y(Cp-R),
откуда Cp=Ry/(y— 1). В результате вместо (11) можно
14. ЗАПОЛНЕНИЕ ОТКАЧАННОГО СОСУДА
205
написать
0"4
Полученные формулы для скорости истечения позволяют сделать сравнительную оценку различных видов топлива для ракетных двигателей. Для получения больших скоростей истечения газов из сопла двигателя предпочтительнее горючее, которое обладает высокой теплотой сгорания (для получения больших температур Т в камере сгорания) и образует продукты сгорания с малой молярной массой. А
14. Заполнение откачанного сосуда. Теплоизолированный сосуд с внутренним объемом V откачан до глубокого вакуума. Окружающий воздух имеет температуру Т0 и давление р0. В некоторый момент открывается кран и происходит быстрое заполнение сосуда атмосферным воздухом. Какую температуру Т будет иметь воздух в сосуде после его заполнения?
А Почему вообще при заполнении сосуда атмосферным воздухом должна измениться его температура? Чтобы разобраться в этом, нужно рассмотреть энергетические превращения, происходящие при заполнении сосуда. При открывании крана какая-то порция воздуха «заталкивается» в сосуд атмосферным давлением. Это значит, что над вошедшим в сосуд воздухом силами атмосферного давления совершается некоторая работа. Благодаря этой работе врывающийся в сосуд воздух приобретает кинетическую энергию направленного макроскопического движения — воздух в сосуд входит струей. При встрече со стенками сосуда и с уже попавшим в сосуд воздухом струя меняет направление, ослабевает и в конце концов исчезает совсем. При этом кинетическая энергия упорядоченного движения воздуха в струе превращается во внутреннюю энергию, т. е. в энергию хаотического теплового движения его молекул.
Все это происходит настолько быстро, что теплообменом входящего в сосуд воздуха с воздухом в атмосфере можно пренебречь. Поэтому применительно к рассматриваемому процессу первый закон термодинамики имеет вид: работа А сил атмосферного давления над вошедшим в сосуд воздухом равна изменению внутренней энергии этого воздуха AU:
A=AU.
(1)
206
V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Как же подсчитать эту работу? Проще всего для этого поступить следующим образом. Представим себе, что наш откачанный сосуд находится внутри большого цилиндра с подвижным поршнем (рис. 14.1). Давление и температура воздуха внутри большого цилиндра такие же, как и в атмосфере. Так как при заполнении откачанного сосуда воздухом давление и температура воздуха в окружающей
сосуд атмосфере остаются неизменными, то процессу заполнения сосуда па рис. 14.1 соответствует перемещение поршня вправо при постоянном давлении рПри этом действующая слева на поршен-ь сила совершает работу p0Vо, где Vo — уменьшение объема внутри цилиндра. Поскольку энергия не вошедшего в сосуд воздуха внутри цилиндра остается неизменной, то эта совершенная при перемещении поршня работа равна работе, совершаемой силами атмосферного давления при «заталкивании» воздуха з сосуд.
