Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
I/ P(V2-V) V2/V-\-
13. Истечение газа из отверстия. Какую скорость имеет струя газа, вырывающегося из небольшого отверстия в стейке баллона со сжатым газом (рис. 13.1)? Температура и давление газа в баллоне имеют значения Тир.
Л Если размер отверстия значительно превышает длину свободного пробега молекул газа в баллоне, то истечение газа можно рассматривать как макроскопический поток. Ограничимся достаточно малым промежутком времени, таким, чтобы давление и температуру газа в баллоне можно было считать неизменными. Тогда процесс истечения газа из баллона можно рассматривать как стационарный, причем траектории любых мысленно выделенных элементов газа совпадают с линиями тока. Если пренебречь тангенциальными силами вязкости между соседними элементами потока газа, что вполне оправдано для рассматриваемого процесса, то для изучения движения газа можно воспользоваться законом сохранения энергии.
- -»_-
Рис. 13.1. Истечение га
за из отверстия в баллоне
Рис. 13.2. При стационарном течении энергия газа между сечениями ]' и 2 (показанного двойной штриховкой) не меняется со временем
Выделим в стационарном потоке газа определенную трубку тока (рис. 13.2). В этой трубке рассмотрим газ, находящийся в некоторый момент времени между сечениями 1 и 2.3а промежуток времени At этот газ перейдет в повое положение между сечениями Г и 2'. Применим к этому выделенному газу первый закон термодинамики — закон сохранения энергии. Особенностью рассматриваемого процесса является то, что у выделенной части газа меняется
232 V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
не только внутренняя энергия U, но и кинетическая энергия макроскопического направленного движения Ек. Полное изменение энергии газа определяется внешним воздействием на него:
AU+AEK=AQ+AA', (1)
где AQ — сообщенное выделенному газу количество теплоты, а А А' — работа, совершенная действующими на газ внешними силами за время At. В рассматриваемом явлении быстрого истечения из отверстия процесс, происходящий с выделенной частью газа, можно считать адиабатическим; т. е. положить в (1) AQ=0. Разумеется, нельзя утверждать, что теплообмен с соседними участками вообще отсутствует, ведь адиабатической оболочки нет! Однако в струе газа работа, совершаемая соседними участками при «проталкивании» выделенной части газа вдоль трубки тока, гораздо больше, чем AQ, и поэтому теплообменом можно пренебречь.
При вычислении работы А А’ следует учесть, что действующие на выделенную часть газа силы давления со стороны соседних участков в сечении 1 направлены вдоль перемещения и противоположно перемещению в сечении 2 (рис. 13.2). Поэтому выражение для работы А А' при перемещении газа за время At имеет вид
AA,=plAV1—ptAVz, (2)
где Pi и рг — давления газа в сечениях 1 и 2, АУ* •— объем части трубки тока между сечениями 1 и 1', а АУ2 — между сечениями 2 и 2'.
В равновесной термодинамической системе макроскопические параметры, такие как температура Т и давление р, имеют одно и то же значение во всех точках. В потоке газа, в отличие от равновесной системы, значения этих параметров меняются от точки к точке, так что можно говорить только о локальном термодинамическом равновесии в отдельных частях потока. Но и такое описание применимо только в тех случаях, когда скорость макроскопического движения газа достаточно медленно меняется в пространстве и во времени. Будем считать, что это условие выполнено. Тогда давление и температура газа меняются вдоль трубки тока на рис. 13.2, но значения этих параметров в пределах малых элементов, например между сечениями 1 и /' или 2 и 2', можно считать неизменными и связанными между собой уравнением состояния.
13. ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ИЗ ОТВЕРСТИЯ
203
С помощью уравнения состояния работу ДА' в (2) можно выразить через температуры газа в сечениях 1 и 2. Считая, что за время Дt через каждое сечение трубки тока проходит количество газа v, имеем
PiAV^vRTi, p2AV3=vRTlt
и выражение (2) принимает вид
ДЛ'=^?(7\-Т2). (3)
Перейдем теперь к вычислению изменения энергии газа AU и АЕК. Так как внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры, то при прохождении количества газа v внутренняя энергия выделенной части изменится на величину
A U^vCyiT.-TJ, (4)
где Cv — молярная теплоемкость при постоянном объеме. Изменение кинетической энергии
А?к = —и2)/2, (5)
где (.1 — молярная масса газа, и », — скорости струи в сечениях 1 и 2.
Подставляя соотношения (3) — (5) в уравнение закона сохранения энергии (1) и сокращая на v, получаем
(Cv + R)(T2-T1) + li(v!-it)f2 = 0. (6)
Поскольку сечения 1 и 2 были выбраны произвольно, то из соотношения (6) следует, что величина (Су +7?)7+ци'2/2 имеет одно и то же значение вдоль всей линии тока. Учитывая, что Cv-\-R=Cp, где Ср — молярная теплоемкость при постоянном давлении, можно написать
