Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
S, толщина которого Ah мала настолько, чтобы плотность воздуха р в пределах этого слоя можно было считать постоянной. В то же время толщина выделенного слоя должна быть такой, чтобы внутри этого слоя было достаточно много молекул и можно было бы говорить о производимом ими давлении. К этому слою воздуха можно применить условие механического равновесия, считая, что действую-
178 V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
щая на него сила тяжести уравновешивается силами давления на верхнее и нижнее основания со стороны соседних слоев (рис. 5.1). Если обозначить давление воздуха на высоте h через р, а на высоте /i-f Ah через р-\-Ар, то условие равновесия запишется в виде
pS—(р+Ap)S—pgS Ah=0, (3)
откуда
Ар=—рg Ah.
(4)
Входящую в формулу (4) плотность воздуха р можно выразить через давление с помощью уравнения Менделеева — Клапейрона:
Рис. 5.1. Силы, действующие на мысленно выделенный с-лой газа в поле тяжести
Р =
}Ч>
RT
(5)
Подставляя р из (5) в уравнение (4) и переходя в нем к пределу Л/г—>0, получаем дифференциальное уравнение для функции p(h):
d? _ dh
WL„
RT p-
(6)
Мы опять встречаемся с уравнением, в котором производная искомой функции пропорциональна самой функции. Решением этого уравнения является экспонента
р (Л) = Сехр ( —
RT
h
(7)
Постоянная С определяется из условия, что давление на нулевой высоте Л=0 равно нормальному атмосферному давлению рл:
p(h) = ptexp(--j?rhy (8)
График этой функции приведен на рис. 5.2.
Подставляя в формулу (8) значения |д,=0,029 кг/моль, g—9,8 м/с2, /? =8,31 Дж/(моль-К), 7=300 К, убеждаемся, что имеющая размерность длины величина RTl\ig равна 8,8 км. На такой высоте давление убывает в е=2,72 раза. Это означает, что характерный масштаб изменения давления
6. ТОРМОЖЕНИЕ СПУТНИКА в ВЕРХНИХ СЛОЯХ АТМОСФЕРЫ 179
или концентрации с высотой составляет примерно 10 км. На высоте 100 км давление воздуха согласно формуле (8) уже практически равно нулю. Итак, атмосфера Земли — это тоненькая оболочка вокруг земного шара.
Формула (8) остается справедливой и в том случае, когда газ находится в закрытом сосуде, помещенном в однородное поле тяжести. Действительно, при выводе формулы (8) то обстоятельство, что атмосфера представляет собой газ в открытом сосуде без «крышки» сверху, никак не использовалось. Применяя формулу (8) к газу в закрытом сосуде, следует считать, что р0 представляет собой давление газа на дно сосуда. Давление же на крышку будет, как видно из (8), меньше чем р0, так что разность сил давления на дно и на крышку цилиндрического сосуда как раз равна весу газа в сосуде.
Подводя итог, можно сказать, что хотя давление газа обусловлено ударами хаотически движущихся молекул, в открытом сосуде (в атмосфере) оно определяется весом столба газа. Поле тяжести в этом случае играет роль той «крышки», которая не дает возможности газу распространиться по всему предоставленному ему объему. ^
6. Торможение спутника в верхних слоях атмосферы.
Решая задачу об изменении параметров орбиты спутника при его торможении в верхних слоях атмосферы, мы не рассматривали самого механизма торможения, поскольку связанная с этим процессом потеря механической энергии была задана в условии задачи. В этом примере мы рассмотрим физическую причину торможения спутника и свяжем потерн энергии с параметрами атмосферы. Будем для определенности считать, что спутник движется по круговой орбите на высоте /г=200 км, где плотность атмосферы р составляет примерно 3-10"9 кг/м3. Оценим силу трения, действующую на спутник, площадь поперечного сечения которого S = 1 м2, а масса М = 103 кг.
Л Как нужно рассматривать торможение спутника в атмосфере? Следует ли считать, что движение спутника происходит в сплошной среде, или же взаимодействие спутника
Рис. 5.2. Зависимость давления газа от высоты в однородном поле тяжести
180 V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
с атмосферой нужно описывать как результат большого числа отдельных ударов молекул воздуха?
При движении твердого тела в сплошной среде вблизи поверхности тела образуется так называемый пограничный слой, в котором некоторые свойства среды, такие, как, например, скорости движения частиц среды, отличаются от свойств вдали от тела, где среда остается невозмущенной. Тело при своем движении увлекает частицы среды, находящиеся в пределах пограничного слоя. Размеры такого пограничного слоя сравнимы с размерами самого тела. Когда справедливо такое представление?
Молекулы среды в своем хаотическом тепловом движении все время сталкиваются друг с другом. Если среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя последовательными столкновениями, значительно меньше размеров тела, то можно использовать представление о сплошной среде и говорить об образовании пограничного слоя вблизи движущегося тела.
