Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Выразив р из уравнения Менделеева — Клапейрона (1), получим
„ 2vRS2 ^ „
Таким образом, частота колебаний поршня пропорциональна К Т, ибо коэффициент при Т в формуле (3) не зависит от
4. ПОРШЕНЬ В ЗАКРЫТОМ. ЦИЛИНДРЕ
173
температуры, если пренебречь тепловым расширением сосуда.
Подумайте теперь, какие условия должны выполняться, чтобы процесс действительно был изотермическим. Для того чтобы температура газа в процессе колебаний не изменялась, необходим хороший тепловой контакт с большим тепловым резервуаром — термостатом, имеющим постоянную температуру. Что значит хороший тепловой контакт? Это значит, что время установления термодинамического равновесия между газом в сосуде и термостатом должно быть много меньше периода колебаний поршня. Тогда можно считать, что газ в каждый момент имеет ту же температуру, что и термостат. Если, наоборот, период колебаний окажется много меньше времени установления термодинамического равновесия между газом и термостатом, то можно считать, что колебания поршня происходят практически без обмена теплотой с термостатом. В этом случае процесс можно считать адиабатическим, несмотря на отсутствие тепловой изоляции сосуда с поршнем. Оказывается, что зависимость частоты колебаний от температуры при этом будет такой же, как н в изотермическом случае, только коэффициент в формуле
(3) умножится на число, большее единицы. Увеличение частоты колебаний при адиабатическом процессе можно объяснить, сравнивая р—V-диаграммы изотермического и адиабатического процессов идеального газа.
Отметим, что приведенное решение в обоих случаях имеет смысл, только если время установления теплового равновесия в самом газе много меньше периода колебаний поршня, так как в противном случае вообще теряют смысл такие равновесные макроскопические характеристики газа, как давление и температура. Другими словами, по отношению к самому газу процесс должен быть квазистатиче-ским. А
4. Поршень в закрытом цилиндре. В вертикальном закрытом цилиндре имеется поршень, который может перемещаться без трения (рис. 4.1). По обе стороны от поршня находятся одинаковые массы одного и того же газа. При температуре Т, одинаковой во всем цилиндре, объем верхней части в п раз больше, чем объем нижней. Каким будет отношение этих объемов, если повысить температуру до значения Т'?
А На примере этой задачи можно увидеть, как важно уметь выразить в виде уравнений те условия, при которых
174 V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
происходит описанный в задаче процесс, но которые не указаны явно в условии задачи.
Первый вопрос, который возникает,—¦ нужно ли учитывать массу поршня, о которой ничего не сказано в условии. Если бы масса поршня равнялась нулю, то при любой температуре поршень в равновесии располагался бы посредине, чтобы давление газа на него с обеих сторон было одинаковым. Поэтому если п= 1, то масса поршня равна нулю и отношение объемов, равное единице, не изменяется при изменении температуры.
При Ю> 1 масса поршня не равна нулю. В этом случае в равновесии действующая на поршень сила тяжести уравновешивается силами давления газа снизу и сверху. Поэтому разность давлений газа в нижней и в верхней частях цилиндра имеет одно и то же значение при любой температуре. Таким образом, мы приходим к первому уравнению, отражающему условие механического равновесия поршня в начальном и конечном состояниях. Обозначая давление газа над и под поршнем при температуре Т через Pl и рг, а при температуре Т' через р[ и p'it имеем
Pt — pi = p* — p’v (О
Еще одно уравнение получается из того условия, что при любом положении поршня полный объем цилиндра, занимаемый газами, имеет одно и то же значение, так как тепловым расширением стенок, конечно, можно пренебречь;
= + (2)
где Vi и Уг — объемы верхней и нижней частей цилиндра при температуре Т, a Vi и У, — при температуре Т".
Подчеркнем еще раз, что уравнения (1) и (2) описывают те условия, которые не оговорены в задаче явно, но которые обязательно нужно учитывать при ее решении.
К уравнениям (1) и (2) следует еще добавить уравнения состояния газа по обе стороны поршня. Так как и в начальном, и в конечном состояниях количества газа в обеих частях сосуда одинаковы и газ имеет одинаковую температуру, то
Pi^i — Ла^2> PiVi — Рг^г' (3)
Рис. 4.1. По обе стороны подвижного поршня — одинаковые массы одного и того же газа
4. ПОРШЕНЬ В ЗАКРЫТОМ ЦИЛИНДРЕ
175
По условию задачи отношение VJV^=п. Поэтому удобно ввести величину х, равную отношению объемов в конечном состоянии (x=V'JV'i). Теперь с помощью уравнений (3) получаем
PJPi=n, рг/р[=х. (4)
Используя обозначения для величин п и л: и соотношения
(4), перепишем уравнения (1) и (2) в таком виде, чтобы они содержали только те величины, которые относятся к газу над поршнем:
