Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Вычитая уравнение (2) из уравнения (1), получаем
Легко сообразить, что сила натяжения нити будет такой же и при установившемся процессе всплывания, если связанные шары легче воды. ^
9. Торможение в вязкой жидкости. Двигатель корабля был остановлен в тот момент, когда скорость корабля была равна v0. Какой путь и за какое время пройдет корабль до полной остановки, если эффективная масса корабля (включающая присоединенную массу — см. задачу 2 раздела «Динамика и законы сохранения») равна т, а сила сопротивления пропорциональна скорости: F=—kv}
А Сила сопротивления при движении твердого тела в жидкости пропорциональна скорости тела в том случае, когда сопротивление движению обусловлено главным образом вязкостью жидкости. Это имеет место при сравнительно небольших скоростях тела относительно жидкости. Коэффициент пропорциональности к между силой сопротивления и скоростью в этом случае зависит от формы тела и пропорционален вязкости жидкости и линейным размерам тела в направлении движения. В данной задаче коэффициент к имеет заданное значение.
(О
(2)
Т = (mt—tnz)gl 2.
(3)
9. ТОРМОЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
163
Мы рассматриваем движение корабля только под действием силы сопротивления. В соответствии со вторым законом Ньютона имеем
ma=—kv. (1)
Рассматривая это движение за достаточно малый промежуток времени At, можно представить скорость и ускорение корабля в виде отношений v=Ax/At, a=Av/At. Тогда уравнение (1) можно переписать в виде
mAv/At=—kAx/At. (2)
Сокращая обе части равенства (2) на одну и ту же величину At, получаем соотношение, связывающее изменение скорости корабля Ли с изменением его положения Ах за тот же самый промежуток времени:
Av = --Ax. (3)
т ' '
Поскольку klm есть постоянная величина (она не зависит ни от положения корабля, ни от времени), то соотношение (3) справедливо не только для малых промежутков времени At, но и для любых больших промежутков. Поэтому зависимость скорости корабля v от его положения, характеризуемого координатой х, выражается линейной функцией
v(x) = v0 —^х. (4)
Она показана на рис. 9.1. В начальный момент, когда *=0, скорость корабля равна va. Когда корабль пройдет весь
путь / до остановки, его скорость обратится в нуль. Путь
I можно найти, полагая в (4) и=0:
(5)
А как меняется скорость корабля с течением времени? На этот вопрос можно ответить, если в уравнение второго закона Ньютона (1) подставить ускорение а как производную скорости по времени:
mdv!dt=—kv. (6)
Это дифференциальное уравнение для’функции v(t), согласно которому производная dv/dt пропорциональна самой функции. Решение такого уравнения представляет собой
164
IV. МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ
экспоненциальную функцию
u(f) = Cexp It'j . (7)
Постоянная С равна значению скорости в начальный момент при /=0. Поэтому
u(f) = u0exp ( —. (8)
График этой функции показан на рис. 9.2. Скорость корабля убывает сначала быстро, а затем все медленнее и медленнее, асимптотически приближаясь к значению у=0.
Рис. 9.1. 'Зависимость скорое- Рис. 9.2. Скорость корабля ти корабля от его положения как функция времени
Строго говоря, скорость обратится в нуль только спустя бесконечно большой промежуток времени. Однако почти еся эта «бесконечность» приходится на «дотягивание» скорости до нуля. Основное ее изменение происходит за конечный промежуток времени. Такие экспоненциально затухающие процессы, которые формально продолжаются бесконечно долго, часто встречаются в физике. Например, по такому закону происходит явление радиоактивного распада.
Эффективную длительность процесса экспоненциального затухания принято характеризовать временем, в течение которого затухающая величина уменьшается в определенное число раз, например в два раза (период полураспада). Обычно в физике вводят время т, в течение которого происходит уменьшение затухающей величины в е раз. Именно это время т условно называют длительностью процесса. В этом смысле время движения корабля т, как видно из формулы (8), равно mlk. Для его нахождения нужно просто приравнять показатель экспоненты минус единице.
Зависимость положения корабля от времени x(t) можно найти из соотношения (4), если подставить в него скорость как функцию времени из формулы (8). Учитывая, что
9. ТОРМОЖЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 165
согласно (5) mvjk—l, получаем x(t) и/ [ 1 —ехр
