Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
p1(n—l) = p'1(x—l), V^l+JL^V^l+JL). (5)
Теперь нетрудно сообразить, что для дальнейшего решения целесообразно перемножить почленно уравнения (5):
PiVi(n— i)(i+^-) = /?;k;(x— i) (6)
Действительно, фигурирующие в уравнении (6) произведения давления газа на его объем выражаются с помощью уравнения состояния через его температуру:
pxV i piV'i
Т'
(7)
Поэтому уравнение (6) можно переписать в виде Т п2— 1 1
4т~ L = --------• (8)
Т п х v >
В левой части этого уравнения стоят величины, заданные в условии задачи, т. е. мы получили квадратное уравнение относительно искомой величины х. Даже не решая этого уравнения, можно увидеть, что оно правильно описывает очевидные предельные случаи. При п=1, что соответствует невесомому поршню, из (8) получается х—1, как и должно быть. При произвольном п> 1 и при Т’->-оо величина х-+1: при очень высокой температуре давления
газов в обеих частях цилиндра настолько велики, что,
несмотря на действующую на поршень силу тяжести, объемы газов над и под поршнем практически одинаковы.
Можно убедиться, что физический смысл имеет только один из корней уравнения (8), так как второй получается отрицательным:
I 1/—«—;—г Т п2— 1
я = а + |Лаа 4-1, где a=-jr 2д ¦.
17В V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Кстати, с чем связано появление лишнего отрицательного корня? А
5. Число молекул в атмосфере. Оценить число молекул воздуха в земной атмосфере.
д В условии задачи нет никаких данных. Следовательно, подразумевается, что число молекул воздуха в атмосфере нужно выразить через какие-то хорошо известные характеристики атмосферы. Что же нам известно о земной атмосфере? Прежде всего давление воздуха вблизи поверхности Земли на уровне моря, равное в среднем 760 мм рт. ст. Практически вся атмосфера состоит из молекул азота и кислорода, причем средняя молярная масса воздуха [i = =0,029 кг/моль, поэтому если бы мы знали массу атмосферы, то легко могли бы определить число молекул в ней.
А как оценить массу атмосферы? «Снизу» атмосфера ограничена поверхностью Земли, средний радиус которой равен 6400 км. Что можно считать «верхней» границей атмосферы? Давление воздуха убывает с высотой и, например, на высоте Эльбруса (5,6 км) составляет лишь половину давления на уровне моря, т. е. концентрация молекул уже в два раза меньше. Отсюда, конечно, не следует делать вывод, что на вдвое большей высоте молекул воздуха нет вовсе. Как известно, современные самолеты, использующие подъемную силу крыла, могут летать на высоте 30 км. Значит, там еще достаточно воздуха. Но вот спутник, летающий на высоте немногим более 200 км, практически не испытывает сопротивления воздуха, т. е. вся масса атмосферы сосредоточена ниже.
Посмотрим, как меняется ускорение свободного падения g в зависимости от высоты в пределах атмосферы: GM4 g ( 2ft \
(л)= = (T+ftТЩ* ) ’ s-g(Q)- 0)
В этой формуле М3 — масса Земли, G — гравитационная постоянная.
Поскольку высота атмосферы, как мы выяснили, составляет несколько десятков километров, что много меньше радиуса Земли R, то изменение g на протяжении атмосферы, как видно из (1), не превосходит 2 %, и при оценках ускорение свободного падения можно считать постоянным. Поэтому давление воздуха р0 на уровне моря численно равно весу столба воздуха с единичным основанием: P=Mg, где М — масса воздуха в этом столбе.
5. ЧИСЛО МОЛЕКУЛ В АТМОСФЕРА
177;
Полную массу атмосферы М0 получим, р«*©ш*а М на площадь поверхности Земли S=4it^a:
M0 = -4nR*. g
Разделив М0 на среднюю молярную массу воздуха ц, получаем число молей, содержащихся в земной атмосфере, и тогда полное число молекул
(2)
l-i л к ’
где Na — постоянная Авогадро. Выразив все входящие в формулу (2) величины в какой-либо одной системе единиц, получим УУ«1044.
Итак, чтобы подсчитать число молекул воздуха в земной атмосфере, достаточно знать лишь давление воздуха на уровне моря, молярную массу воздуха, радиус Земли и ускорение свободного падения g у ее поверхности. В ответ не входит высота атмосферы, важно лишь, чтобы она была мала по сравнению с радиусом Земли. Совершенно несущественной оказалась температура воздуха и ее распределение в земной атмосфере.
При решении этой задачи мы воспользовались тем, что толщина атмосферы мала по сравнению с радиусом Земли. Этот факт хорошо известен, но остается вопрос, почему это так, почему земная атмосфера устроена именно таким образом? Чтобы ответить на этот вопрос, нужно знать, как концентрация молекул воздуха зависит от высоты.
Распределение молекул воздуха по высоте легко найти, если предположить, что атмосфера находится в состоянии термодинамического равновесия, т. е. температура воздуха Г в ней всюду одинакова. Так как давление газа р связано с его концентрацией п соотношением p=nkT, то при постоянной температуре зависимость концентрации и давления от высоты одинакова. Поэтому можно искать зависимость давления воздуха от высоты. Выделим мысленно горизонтальный слой воздуха на высоте h с площадью основания
