Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
6. ТОРМОЖЕНИЕ СПУТНИКА В ВЕРХНИХ СЛОЯХ АТМОСФЕРЫ 183
нюю поверхность тела площади S за единицу времени равно числу молекул воздуха, находящихся в цилиндре с площадью основания S и высотой V (рис. 6.3), т. е. nVS. Поэтому полная сила, действующая на тело, равна
F-=2mnV2S=2pV2S. (3)
Таким образом, при У>(и) сила сопротивления пропорциональна квадрату скорости тела. При движении спутника по околоземной круговой орбите его скорость составляет приблизительно 8 км/с. Это значительно больше средней тепловой скорости молекул воздуха, которая при температуре Т порядка нескольких сот кельвинов, характерной для атмосферы на высоте около 200 км, составляет примерно <о> « КйГ/m =€ 103 м/с. Поэтому для нахождения силы сопротивления нужно пользоваться формулой (3). Подставляя в ^
нее данные из условия задачи, ^
получаем F^O,4 Н. Такая сила S сообщает спутнику массой 1 т ускорение а«4-10"4 м/с2. ^
При получении формулы (3) мы считали, что удар молекул о поверхность спутника абсолютно упругий. Если считать этот удар Рис- 6-3- К вычислению
неупругим, то сила торможения “Зу^мПоздухГп'ри будет вдвое меньше. При неупру- столкновении с телом гом ударе форма поверхности спутника не влияет на силу, а определяется площадью поперечного сечения S.
Интересно отметить, что для спутника, имеющего форму шара, сила сопротивления не зависит от того, упруго или неупруго сталкиваются с его поверхностью молекулы воздуха.
Полученное выражение для силы сопротивления (3) дает возможность найти относительное уменьшение механической энергии АЕ/Е за один оборот спутника вокруг Земли. Потеря энергии за один оборот АЕ определяется работой силы торможения:
AE=-F-2n(R+h), (4)
где R — радиус Земли. Скорость спутника на круговой орбите высоты h определяется соотношением
^ = (5)
о1
---о
t V 3
184 V. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
Поскольку механическая энергия спутника с MgR2
Е~ 2 (ЯН-й) ’ ^
то для Af/f получаем
¦^- = 8 n§(R + h). (7)
Используя данные задачи, с помощью формулы (7) можно убедиться, что уменьшение энергии, например, на 2 % произойдет приблизительно за 40 оборотов вокруг Земли. ^
7. Газ в сосуде с перегородкой. Сосуд с разреженным газом разделен на две части тонкой перегородкой, в которой имеется отверстие, размер которого мал по сравнению со средней длиной свободного пробега (рис. 7.1). Найти отно-
г’
7P77Z777Z
Рис. 7.1. Молекулы газа могут проходить через отверстие в перегородке сосуда
V7P777777777777777K
шение концентрации газа в разных частях сосуда, если в одной из них поддерживается температура Tlt в другой Т2.
Д Будем считать, что газ в сосуде идеальный, т. е. его молекулы взаимодействуют между собой только при столкновениях. По условию задачи газ разрежен настолько, что средняя длина свободного пробега молекул между столкновениями много больше размеров отверстия. В этом случае молекулы свободно проходят через отверстие, причем каждая молекула приходит в другую половину сосуда с той же энергией, которой она обладала до этого. Средняя энергия молекул при термодинамическом равновесии определяется температурой. Поэтому переход молекул из одной части сосуда в другую должен приводить к выравниванию температур.
Говорить об определенной температуре газа каждой части сосуда можно только в том случае, когда отверстие в перегородке достаточно маленькое, так что установление термодинамического равновесия в каждой части сосуда происходит гораздо быстрее, чем выравнивание температур этих частей.
7. ГАЗ В СОСУДЕ С ПЕРЕГОРОДКОЙ
Сколько же молекул проходит в единицу времени через отверстие из одной половины сосуда в другую? Нетрудно сообразить, что среднее число таких молекул N пропорционально концентрации п и средней скорости {v) молекул в той половине сосуда, из которой они переходят, а также площади отверстия S:
N=Cn(v)S. (1)
Для вычисления числового значения безразмерного козф> фициента С нужно знать закон распределения молекул по направлениям скорости. Однако для решения этой задачи значение С нам не потребуется.
В стационарном состоянии полное число молекул в каждой половине сосуда не меняется со временем. Поэтому среднее число молекул, проходящих через отверстие слева направо и справа налево, должно быть одинаковым.
Отсюда с помощью соотношения (1) получаем
n1(v1)=ni(v1l). (2)
Средние скорости молекул в каждой половине пропорциональны квадратному корню из соответствующей температуры. Поэтому из равенства
(2) находим
nj^VTjTi. (3)
В горячей части сосуда концентрация молекул меньше. Однако давление газа там больше, чем в холодной части. Учитывая, что давление выражается формулой p=nkT, с помощью равенства (3) получаем для отношения давлений в разных половинах