Физика в примерах и задачах - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя сюда pi уравнения (1), находим
( v Рг P\V + V'
ИЗ
Рассуждая дальше таким же образом, нетрудно убедиться, что после п ходов поршня давление в сосуде будет равно
Рп-Р{т^р)- (2)
По формуле (2) определяется число качаний п, необходимое для того, чтобы понизить давление в сосуде до значения рп=р':
lg (р'/р)
\&\Vny+V')Y
Интересно построить график зависимости давления в сосуде от числа качаний п. Эт есть график показательной функции с основанием W(V+V')<1 (рис. 2.2). Обратите внимание, что давление с каждым шагом уменьшается на псе меньшее и меньшее значение. Подумайте, как поступить, если требуемое конечное давление р' не совпадает ни с одним значением рп, определяемым формулой (2).
Согласно формуле (2) по мере откачки давление воздуха а сосуде убывает и при достаточно большом числе качаний п может быть сделано сколь угодно малым. Однако в действительности ни один насос не может откачать воздух из
3. КОЛЕБАНИЯ ПОРШНЯ
171
сосуда полностью, так, чтобы давление в нем обратилось в нуль. Для каждого насоса существует некоторое минимальное давление рт-т, ниже которого он не может дать разрежение. Причина этого — существование вредных пространств, неидеальная работа клапанов и т. п. Например, когда поршень насоса движется вправо, выталкивая воздух из камеры в атмосферу, между поршнем и клапаном неизбежно остается пусть даже очень маленький, но конечный объем Д К. Поэтому не весь воздух из камеры будет вытолкнут в атмосферу. Эго и замедляет откачку и в конце концов приводит к тому, что при некотором давлении в сосуде насос вообще начинает работать вхолостую. Действительно, при давлении в сосуде pmia воздух, сжатый от первоначального объема камеры V до объема Д V, будет иметь давление не выше атмосферного р0 и не сможет выйти наружу. Итак, для определения предельного давления, обусловленного существованием вредного пространства, можно написать условие
А™,/' = Ро Д^. откуда pmin = p0AV/V'. (3)
Для получения больших разрежений обычно используют несколько насосов, соединенных последовательно. Насос каждой последующей ступени откачивает воздух не в атмосферу, а в объем, из которого воздух откачивается насосом предыдущей ступени. А
3. Колебания поршня. Расположенный горизонтально цилиндрический сосуд, заполненный идеальным газом, разделен поршнем, который может двигаться без трения. В равновесии поршень находится посредине цилиндра. При малых смещениях из положения равновесия поршень совершает колебания. Найти зависимость частоты этих колебаний от температуры, считая процесс изотермическим.
Д В положении равновесия давление р на поршень слева и справа одинаково. Поскольку объем газа слева и справа одинаков, а температура Т постоянна, из уравнения Менделеева — Клапейрона
pV—vRT (1)
следует, что количество газа v одинаково по обе стороны ог поршня. Отметим, что химический состав газов может быть различным.
Пусть поршень сместился из положения равновесия, например влево, на малую величину х, так что где
S — площадь поршня (рис. 3.1). Поскольку температура
172 v. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
по условию не меняется, то
{p+kpJiV—Sx)= {p—Ap2)(V+Sx).
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим
(Api+&pi)V— (Api—Api)Sx=2pSx.
Второе слагаемое слева много меньше первого не только потому, что Sx-CK, но и вследствие того, что множителем
Рис. 3.1. Изменение давления при смещении поршня из равновесного положения
при V стоит сумма двух близких величин A pi и А р2, а множителем при Sx — их разность. Пренебрегая вторым слагаемым, получаем
2 pS V
-х.
А рг + А р2
Результирующая сила, действующая на поршень, равна
2pS*
X.
Знак минус означает, что сила направлена в сторону, противоположную направлению смещения поршня, т. е. к положению равновесия. Под действием силы, пропорциональной смещению, поршень массой М будет совершать гармонические колебания с частотой со, определяемой соотношением
со2=2 pSVVM, (2)
При решении задачи мы молчаливо предполагали, что масса газа много меньше массы поршня, так что кинетической энергией макроскопического движения газа при колебаниях поршня можно пренебречь по сравнению с кинетической энергией поршня. Подумайте, где использовано это условие.
