Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
234
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Обратим внимание, что при использовании формулы
(4.3) для системы точечных зарядов и проводников мы, как видно из самого вывода формулы, получаем собственную энергию проводников и взаимную потенциальную энергию всех входящих в систему зарядов, т. е. полную энергию поля за вычетом неизменной собственной энергии точечных зарядов.
Собственная энергия проводников, в отличие от собственной энергии точечных зарядов, не является постоянной. Она может измениться при изменении конфигурации системы вследствие перемещения зарядов в проводниках. Поэтому эта энергия не может быть отброшена при вычислении изменения энергии системы.
В том случае, когда система состоит только из проводников, а точечных зарядов нет, формула (4.3) дает полную энергию системы, т. е. сумму собственных энергий всех проводников и энергии их взаимодействия. Мы получаем одно и то же значение независимо от того, рассматриваем ли энергию поля или энергию системы зарядов. Примером такой системы является конденсатор, где, как мы видели,
оба подхода дают одинаковый результат W = ~qU.
В заключение этого параграфа рассмотрим энергию точечного заряда q, находящегося на расстоянии I от бесконечного плоского проводящего экрана. Поскольку потенциал проводящего экрана равен нулю, то согласно формуле
(4.8) энергия системы (собственная энергия проводника и энергия взаимодействия точечного заряда с проводником) равна половине произЬедения заряда q на потенциал той точки, где он находится. Этот потенциал может быть найден как потенциал поля заряда-изображения, расположенного на расстоянии 21 от заряда q (рис. 2.3). Поэтому
iff
в полном соответствии с результатом § 2, где была вычислена работа, которую нужно совершить, чтобы удалить точечный заряд q от проводящего экрана на бесконечность (см. формулу (2.4)).
Из разобранного примера очевидно, что при наличии точечных зарядов и проводников не имеет смысла рассматривать по отдельности собственную энергию проводников и
§ S. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ 225
взаимную потенциальную энергию всех зарядов, так как работа внешних сил определяет, изменение суммы этих энергий. Исключить из рассмотрения можно только неизменную собственную энергию точечных зарядов.
§ 5. Энергетические превращения в конденсаторах и сохранение энергии в электростатике
Для анализа энергетических превращений, которые могут происходить в электрическом поле, рассмотрим плоский конденсатор с воздушным зазором, подсоединенный к источнику с постоянным напряжением U0. Будем раздвигать пластины конденсатора от расстояния до расстояния d2 в двух случаях: предварительно отсоединив конденсатор от источника питания и не отсоединяя конденсатор от источника.
В первом случае заряд на обкладках конденсатора все время остается неизменным: q=CU=const, хотя емкость С и напряжение U изменяются при движении пластин. Зная напряжение на конденсаторе в начальный момент, находим величину этого заряда:
? = ВД,=^*/0. (5.1)
Так как разноименно заряженные пластины 'конденсатора притягиваются, для их раздвижения необходимо совершить положительную механическую работу. Если при раздвижении расстояние между пластинами все время остается много меньше их линейных размеров, то, как нетрудно убедиться, сила притяжения пластин не зависит от расстояния между ними. Действительно, поле, создаваемое одной из пластин, однородно и его напряженность Е=о/(2е0), где o=q/S — поверхностная плотность заряда. Умножив эту напряженность на величину заряда другой пластины, находим величину действующей на нее силы: F=q*/(2eQS).
Для равномерного перемещения пластины внешняя сила должна уравновесить силу притяжения, и поэтому совершаемая при перемещении пластины на расстояние d2—d± механическая работа равна
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Подставив в эту формулу величину заряда из (5.1), найдем
Второй случай отличается от рассмотренного тем, что при движении пластин остается неизменным не заряд конденсатора, а напряжение на нем: U=U0. Поскольку расстояние между обкладками увеличивается, то напряженность поля убывает, а следовательно, убывает и заряд на пластинах. Поэтому сила притяжения пластин не остается постоянной, как в первом случае, а убывает, причем, как нетрудно убедиться, обратно пропорционально квадрату расстояния. Вычислить работу этой переменной силы методами элементарной математики затруднительно — необходимо умение интегрировать. Но все-таки мы можем найти эту работу, ибо математические трудности в физике нередко удается обойти, подходя к задаче с другой стороны, т. е. используя другие физические законы. На помощь нам придет один из самых фундаментальных законов природы — закон сохранения и превращения энергии.
Применим его сначала к более простому первому случаю. Изменение энергии W конденсатора происходит только за счет механической работы, совершаемой внешними силами: Wi—W^=A. Поскольку заряд конденсатора остается неизменным, для энергии конденсатора удобно воспользоваться формулой W=q2l(2C). Таким образом,
