Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
что при подстановке выражения для емкости и для заряда
(5.1) приводит к окончательной формуле (5.2). Обратим внимание, что этот результат можно получить и рассматривая энергию конденсатора как энергию электрического поля между его обкладками. Так как напряженность поля и, следовательно, плотность энергии остаются неизменными, а объем, занимаемый полем, возрастает, то увеличение энергии равно произведению плотности энергии ваЕ2/2 на приращение объема S (d2—dj).
Во втором случае энергия конденсатора изменяется как за счет механической работы, так и за счет работы, совершаемой источником питания:
(5.2)
Wt-Wi = A+A,„.
(5.3)
$ 5. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ 227
Определив независимо изменение энергии конденсатора и . работу источника, можно с помощью закона сохранения энергии (5.3) найти механическую работу.
Поскольку в этом случае остается неизменным напряжение, для расчета энергии конденсатора удобно использовать формулу W=CU2/2, Для изменения энергии получаем
При изменении заряда на обкладках конденсатора на величину Aq—q2—^ источник питания совершает работу AKCT=U0(q2—qi). Заряд конденсатора определяется соотношением q=CU0. Тогда
т. е. работа источника равна удвоенному изменению энергии конденсатора.
Интересно отметить, что как работа источника, так и изменение энергии конденсатора получились отрицательными. Это вполне понятно: совершаемая механическая работа положительна и должна была бы привести к увеличению энергии конденсатора (как и происходит в первом случае). Но энергия конденсатора убывает, и, следовательно, источник должен «принять на себя» энергию, равную убыли энергии конденсатора и механической работе внешних сил. Если процессы в источнике обратимы (аккумулятор), то он будет заряжаться, в противном случае источник просто нагревается.
Чтобы лучше разобраться в сути явлений, рассмотрим противоположный случай: присоединенные к источнику пластины конденсатора сближают от расстояния di до расстояния d2 (da<di). Поскольку пластины притягиваются, работа внешних сил отрицательна, ибо для равномерного
W2-Wi = ^-(C2-C1)=-^-B0S (?-?). (5.4)
(5.5)
и с помощью выражения (5.3) получаем
Отметим, что из (5.5) и (5.4) видно, что Akct = 2(W2-W1),
228
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
перемещения пластин внешняя сила должна быть направлена в сторону, противоположную перемещению. Энергия конденсатора при сближении пластин возрастает. Итак, механическая работа внешних сил отрицательна, а энергия конденсатора возросла, следовательно, источник совершил положительную работу. Половина этой работы равна увеличению энергии конденсатора, вторая половина передана внешним телам в виде механической работы при сближении пластин. Все приведенные выше формулы применимы, разумеется, при любом направлении перемещения пластин.
Во всех рассуждениях мы пренебрегали сопротивлением проводов, соединяющих конденсатор с источником. Если учитывать выделяющееся в проводах при движении зарядов тепло Q, уравнение баланса энергии принимает вид
W2~Wi+Q = A + AKCT.
Изменение энергии конденсатора и работа источника выражаются, конечно, прежними формулами (5.4) и (5.5). Тепло всегда выделяется независимо от того, сближаются или раздвигаются пластины, поэтому Q>0. Величину Q можно вычислить, если известна скорость движения пластин. Чем больше скорость движения, тем больше выделяющееся тепло. При бесконечно медленном движении пластин Q-*0.
Выше мы отметили, что работа источника питания при раздвижении пластин равна удвоенному изменению энергии конденсатора. Этот факт носит универсальный характер: если любым способом изменить энергию подсоединенного к источнику питания конденсатора, то работа, совершаемая при этом источником питания, равна удвоенному значению изменения энергии конденсатора:
Аяп = 2Ш.
Как в этом убедиться? Поскольку конденсатор все время остается присоединенным к источнику питания, напряжение на конденсаторе равно Ua как в начале, так и в конце процесса (хотя во время процесса напряжение на конденсаторе может быть и меньше). Если заряд конденсатора во время процесса изменился на величину Aq, то его энергия изменилась на величину
ДГ =4 Ueqt—f Ufa = уU0Aq.^
§ 5. СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ 229
(5.6)
Чтобы у читателя ие возникло подозрений в том, что половина энергии «бесследно исчезла», полезно написать уравнение баланса энергии:
где Ах — механическая работа, совершенная при этом процессе силами, действующими на внешние тела, a Q — выделившееся тепло. Очевидно, что Ax-\-Q и равно оставшейся
Рис. 5.1. Втягивание пластины из диэлектрика в плоский конденсатор.
половине работы источника. Существуют такие процессы, в которых либо At—0, либо Q=0. Но, как видно из (5.6) и (5.7), изменение энергии конденсатора, соединенного с источником, обязательно сопровождается либо совершением механической работы, либо выделением тепла.
