Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Зная, электрическое поле, можно рассчитать поверхностную плотность индуцированных на проводнике зарядов и силу, действующую на точечный заряд q. Поскольку все силовые линии, выходящие из заряда q, оканчиваются на проводящей плоскости, то полная величина индуцированного на ней заряда равна —q. Разумеется, этот заряд распределен неравномерно. Поверхностную плотность индуцированных зарядов легко определить с помощью соотношения (2.1). Напомним, что напряженность поля вблизи поверхности проводника направлена по нормали к•ней. Очевидно, что в' рассматриваемом случае поле обладает осевой симметрией: при вращении вокруг линии, соединяющей заряды q и —q, картина поля не меняется. Поэтому плотность заряда на поверхности зависит только от расстояния г от оси симметрии: а=а(г). Простой расчет, идея которого понятна из рис. 2.4, приводит к результату
о (г) = BqE (г) = -—г——J7-. (2.2)
у 2я(гг-Нг)3/г
Какая сила действует на заряд q? Для нахождения силы нужно знать напряженность поля, в котором нахо-
. 210
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
дится этот заряд. В данном случае это поле создается зарядами, индуцированными на проводнике. Точно такое же поле создавал бы заряд-изображение —q. Таким образом, заряд q притягивается к проводнику с такой же силой,
как и к заряду —q, находящемуся на расстоянии 21 от него.
А какую работу нужно совершить, чтобы удалить заряд q на бесконечность? Может показаться, что искомая работа будет такой же, как и при раздвижении на бесконечность зарядов q и —q, находящихся на расстоянии 2/друг от друга:
1 ч' (2.3)
’4яе0 21
Рис. 2.4. К расчету поверхностной плотности индуцированных зарядов.
Однако это неверно! В этом можно убедиться с помощью следующего простого рассуждения. При удалении заряда q от поверхности металла будет удаляться в противоположную сторону и его «изображение»—q, ибо в каждый момент сила, действующая на заряд, определяется зарядом-изображением —q, -расположенным симметрично q относительно поверхности металла. Поэтому по формуле (2.3) определяется работа, которая совершается внешними силами, действующими на оба заряда. Нам же необходимо найти работу только одной из этих сил — действующей на заряд q: ведь на самом деле йикакого заряда —q нет, а есть заряды, индуцированные на поверхности металла, которые при удалении заряда q растекаются по эквипотенциальной поверхности, так что при их перемещении никакой работы не совершается. Таким образом, интересующая нас работа А' будет в два раза меньше, чем работа А в (2.3):
А'--
1
A
4яе0 41 -
(2.4)
Этот результат становится особенно наглядным, если ‘вспомнить, что электростатическую энергию взаимодействия зарядов можно рассматривать как энергию создаваемого ими поля. В системе двух точечных зарядов q и —q поле существует во всем пространстве, в то время как в рас-
§2. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 211
сматриваемом случае поле существует только в той половине пространства, где находится заряд q (рис. 2.3).
Мы рассмотрели простейший случай: точечный заряд вблизи бесконечной плоской поверхности проводника — и сумели просто угадать решение —• заменили поле индуцированных зарядов полем фиктивного точечного заряда-изображения, расположенного по другую сторону границы
I
Рис. 2.5. Силовые линии и сечения эквипотенциальных поверхностей поля двух разноименных точечных зарядов.
проводника. А можно ли применять метод изображений дл$ проводников более сложной формы? Для ответа на этот вопрос рассмотрим разобранный выше пример с несколько иной точки зрения.
Предположим, что имеются два точечных заряда q и —q на расстоянии 21 друг от друга. Поле такой системы зарядов хорошо известно. На рис. 2.5 показаны силовые линии и сечения эквипотенциальных поверхностей. Одна из эквипотенциальных поверхностей — плоскость, перпендикулярная отрезку, соединяющему заряды, и делящая его пополам. Действительно, потенциал любой точки этой плоскости
212
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
так как расстояния любой точки этой плоскости от зарядов q и — q одинаковы (/¦1=rJ). Совместим тонкий проводящий экран с этой плоскостью. Поскольку все точки проводника, помещенного в электростатическое поле, имеют одинаковый потенциал, картина поля не изменится вне экрана, а внутри
него напряженность поля равна нулю. Уберем теперь заряд—q. Справа от экрана поля не будет, слева все останется
t
ш/шш а)
-Ч
1!
т/Лмш
21,
2к
6)
I
Рис. 2.6. Электрическое поле внутри двугранного угла (а) совпадает с .полем четырех зарядов, показанных на рис. б.
Рис. 2.7. Такую задачу методом изображений решить нельзя.
без изменения. Но получившаяся система — как раз то, что нам нужно рассмотреть! Справа от экрана поля нет, слева напряженность в любой точке определяется векторной суммой напряженностей полей, создаваемых зарядами q и —q, а потенциал — алгебраической суммой потенциалов этих полей.
