Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
S I. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД И ПОЛЕ
201
выбрать бесконечно удаленную точку. Тогда выражение для пбТен^иала точки, отСТоящёй на расстояние г от заряда, Имей вид
<‘-3>
Потенциальная энергия W заряда qlt помещенного в элект-. ростатическое поле, равна произведению ^ на потенциал той точки поля, где находится этот заряд:
W =
Если заряд qx находится в поле, создаваемом точечным зарядом <7, то его потенциальная энергия, с учетом (1.3), равна
При одноименных зарядах q и qu т. е. при отталкивании, потенциальная энергия положительна. При разноименных зарядах, т. е. притяжении, потенциальная энергия, как и в гравитационном поле, отрицательна.
Электрические поля графически изображают либо с помощью силовых линий, либо с помощью эквипотенциальных поверхностей. Силовые линии перпендикулярны поверхностям постоянного потенциала; поэтому, имея одну из этих картин, мы можем построить другую.
Электрические поля удовлетворяют принципу суперпозиции: электрическое поле системы источников является суммой полей отдельных источников. Напряженность поля, создаваемого несколькими зарядами, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности. Потенциал произвольной точки поля нескольких зарядов, как следует из определения потенциала, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых в этой точке каждым зарядом. При этом точка нулевого потенциала выбирается общей для всех зарядов.
Принцип суперпозиции фактически означает, что присутствие других зарядов никак не сказывается на поле, создаваемом данным зарядом;
Потенциальный характер электростатического поля легко доказать для случая поля точечного заряда. Это можно сделать так же, как и для гравитационного поля, создаваемого точечной массой (см. § 8 раздела «Механика»). Тогда
202
ЭЛЕКТРОСТА1И КА
из принципа суперпозиции будет следовать потенциальность любого электростатического поля, так как любое распределение электрических зарядов, создающих поле, можно представить как ¦ совокупность точечных зарядов.
Закон взаимодействия электрических зарядов — закон
Кулона — можно сформулировать иначе, в виде так назы-
ваемой теоремы Гаусса. Теорему Гаусса можно получить
как следствие закона Кулона и принципа суперпозиции. Доказательство основывается на обратной пропорциональности силы взаимодействия
двух точечных зарядов квадрату расстояния между ними. Поэтому теорема Гаусса применима к любому физическому полю, где действует закон обратных квадратов и принцип суперпозиции, например к гравитационному полю.
Прежде чем формулировать теорему Гаусса, рассмотрим картину силовых линий электрического поля неподвижного точечного заряда. Силовые линии уединенного точечного заряда представляют собой симметрично расположенные радиальные прямые (рис. 1.1). Можно провести любое число таких силовых линий. Обозначим полное их число через N. Тогда густота силовых линий на расстоянии г от заряда, т. е. число линий, пересекающих единицу поверхности сферы радиуса г, равна'N/(4nr2). Сравнивая с выражением для напряженности поля точечного заряда
(1.2), видим, что густота силовых Линий и напряженность поля пропорциональны. Мы можем сделать их численно равными, надлежащим образом выбрав полное число силовых линий N:
N д 1
4лг2 4яев г2 ’
откуда N—q!e0. Таким образом, поверхность сферы любого радиуса, охватывающей заряд пересекают qhn силовых линий. Так как силовые линии непрерывны, то столько же
$ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД И ПОЛЕ
203
линий выходит наружу'из любой замкнутой поверхности 2 (рис. 1.1), охватывающей заряд q.
Введем теперь понятие потока вектора напряженности поля через поверхность. Произвольное поле можно мысленно разбить на малые области, в которых напряженность меняется по величине и направлению столь мало, что поле можно считать в пределах этой области однородным. В каждой такой области силовые линии представляют собой параллельные прямые и имеют постоянную густоту.
Рассмотрим, какое число AN
силовых линий пронизывает ма- Рис- 1-2, К определению поле. тока вектора напряженности
лую площадку AS, направление поля черезр пло?адку Д5.
нормали п к которой образует
угол а с направлением линий напряженности (рис. 1.2), Пусть AS0 — проекция AS на плоскость, перпендикулярную к силовым линиям. Так как число линий, пересекающих AS и AS0, одинаково, а густота линий, согласно принятому условию, равна величине напряженности поля Е, то .
AN = Е AS0 = Е AS cos а.
Величина Е cos а представляет собой проекцию вектора Е на направление нормали п к площадке AS:
Е cos а = Еп.
Поэтому число силовых линий AN, пересекающих площадку AS, равно
AN = EnAS. (1.4)
Произведение EnAS носит название потока вектора напряженности поля через поверхность AS. Формула (1.4) показывает, что поток вектора Е через поверхность AS равен числу силовых линий, пересекающих эту поверхность. Отметим, что поток вектора напряженности, как и число проходящих через поверхность силовых линий, есть скаляр. Поток вектора напряженности поля через произвольную поверхность представляет собой сумму потоков через элементарные площадки, на которые можно разбить эту поверхность. В силу соотношения (1.4) можно утверждать, что
