Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Условие отсутствия электростатического поля внутри проводника приводит к тому, что нескомпенсированные заряды могут располагаться только на его поверхности. В этом легко убедиться с помощью теоремы Гаусса. Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем внутри проводника. Во всех точках этой поверхности напряженность макроскопического электрического поля равна нулю. Следовательно, равен нулю и поток напряженности поля через эту поверхность. Тогда цо теореме Гаусса равен нулю и полный заряд в объеме, ограниченном рассматриваемой поверхностью. Так как поверхность произвольна, то результат применим к любому участку внутри проводника вплоть до его праницы. Итак, нескомпенсированные заряды могут располагаться только на поверхности проводника.
Отсутствие зарядов во внутренних частях проводника может быть использовано для опытной проверки закона
$ 2. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 207
Кулона. Если бы в законе Кулона F = —5— показатель
4Я8о Гл
степени г не равнялся бы точно двум, то не была бы справедлива теорема Гаусса и во внутренних частях заряженного проводника должны были бы находиться заряды. Интересно, что отсутствие зарядов во внутренних частях заряженного металлического проводника было экспериментально установлено Кавендишем за 12 лет до того, как Кулон сформулировал закон взаимодействия точечных зарядов. Проверку закона Кулона таким способом можно произвести с большей точностью, чем при непосредственном измерении силы взаимодействия между заряженными телами, так как очень трудно создать условия, отвечающие требованию, чтобы заряды были точечными.
С помощью теоремы Гаусса легко найти выражение для напряженности электрического поля в непосредственной близости от поверхности проводника. Прежде всего отметим, что во всех точках проводника потенциал одинаков и, следовательно, его граница является эквипотенциальной поверхностью, а силовые линии перпендикулярны его поверхности. Возьмем на поверхности проводника настолько малый участок AS, чтобы его можно было считать плоским, а поверхностную плотность заряда а — постоянной. Проведем мысленно малую замкнутую цилиндрическую поверхность, образующие которой перпендикулярны к поверхности проводника, а основания параллельны AS (рис. 2.1). Нижнее основание расположено целиком внутри проводника, где поле отсутствует, а верхнее — в непосредственной близости от поверхности проводника, где силовые линии еще перпендикулярны к ней.
При таком выборе замкнутой поверхности поток напряженности проходит только через верхнее основание и равен Е AS. По теореме Гаусса
Рис. 2.1. К вычислению напряженности поля вблизи поверхности проводника.
208
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
откуда
(2.1)
Подчеркнем, что формула (2.1) дает выражение для напряженности полного электростатического пол я, существующего вблизи поверхности проводника, независимо от того, создается ли это поле только самим заряженным
проводником или еще и другими зарядами. Из (2.1) видно, что напряженность результирующего поля вблизи поверхности проводника связана только с плотностью зарядов на его поверхности.
В качестве примера проводника в электрическом поле рассмотрим большой кусок металла с плоской границей, т. е. фактически заполненное проводником полупространство, в поле точечного заряда q, находящегося на расстоянии I от плоской поверхности (рис. 2.2). Выясним, каким будет электростатическое поле во всем пространстве. Прежде всего отметим, что внутри куска металла поля нет: справа от плоскости Е=0. Остается найти поле в полупространстве, содержащем заряд. На плоской поверхности проводника индуцируются заряды, поверхностная плотность а которых связана с напряженностью полного поля вблизи плоскости соотношением (2.1). По принципу суперпозиции полное
Рис. 2.2. Электрическое поле точечного заряда, находящегося вблизи поверхности проводника.
Рис. 2.3. Действие индуцированных на -плоской границе зарядов эквивалентно действию точечного заряда —q.
§ 2. ПРОВОДНИКИ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ Й09
поле в любой точке можно рассматривать как сумму полей заряда q и индуцированных на плоскости зарядов. 'Так как справа от плоскости полное поле равно нулю, то ясно, что суммарное поле всех индуцированных на плоскости зарядов можно .заменить для правого полупространства полем одного точечного заряда —q, помещенного в ту же точку, что и исходный заряд q. Поле йндуцированных зарядов симметрично относительно плоскости-. Поэтому поле индуцированных зарядов в левом полупространстве эквивалентно полю точечного заряда —q, расположенного справа от плоскости симметрично заряду q (рис. 2.3). Итак, полное поле в левом полупространстве представляет собой суперпозицию полей, создаваемых зарядом q и зарядом—q, расположенным справа от плоскости симметрично заряду q.
Полученный результат можно кратко сформулировать так: действие плоской границы проводника с индуцированными на ней зарядами можно заменить действием точечного заряда —q, являющегося как бы зеркальным изображением данного заряда q в проводящей плоскости. Поэтому описанный способ нахождения поля носит название метода изображений.
