Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Надетая на конденсатор металлическая коробка осуществляет электростатическую защиту системы. Теперь мы можем подносить снаружи к коробке любые заря-Рис, 3,7. Поле вблизи кра- женные или незаряженные тела и ев пластин конденсатора, при этом электрическое поле внутри коробки не изменится. Значит, не изменится и емкость системы.
Обратим внимание на то, что в разобранном примере, выяснив все, что нас интересовало, мы тем не менее обошли стороной вопрос о том, какие же силы осуществили перераспределение зарядов. Какое электрическое поле вызвало движение электронов в материале проводящей коробки?
§ 4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
219
Очевидно, что это может быть только то поле, которое выходит за пределы конденсатора вблизи краев пластин (рис. 3.7). Хотя это поле мало и не принимается во внимание при расчете изменения емкости, именно оно определяет суть рассматриваемого явления — перемещает заряды и этим вызывает изменение электрического поля внутри коробки.
§ 4. Энергия электрического поля и энергия системы зарядов
Заряженный конденсатор обладает энергией. В рамках электростатики эту энергию можно рассматривать либо как потенциальную энергию взаимодействия зарядов, сосредоточенных на обкладках, либо как энергию создаваемого этими зарядами электрического поля, заключенного между обкладками конденсатора. В первом случае энергия конденсатора может быть представлена одной из следующих формул:
W = \qU = ^CU*=\?-t (4.1)
Энергия плоского конденсатора, рассматриваемая как энергия заключенного между его обкладками электростатического поля, имеет вид
Г = (4.2)
где V=Sd — объем, занимаемый полем. Коэффициент при V имеет смысл объемной плотности энергии электростатического поля.
Энергия взаимодействия системы N неподвижных точечных зарядов в вакууме выражается формулой
N
^ = (4.3)
;= 1
где фi — потенциал поля, создаваемого всеми зарядами, кроме i-го, в той точке, где находится i-и заряд:
, N
I Q k
4ле0 Si rki • (4-4)
къ 1
(* ф о
Здесь rki — расстояние между ?'-м и k-u зарядами.
220
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Для доказательства этой формулы удобно использовать метод математической индукции. Прежде всего убедимся, что формула (4.3) справедлива для системы двух точечных зарядов: N—2. Энергия этой системы определяется работой, которая совершается внешними силами при внесении точечного заряда q2 из бесконечности в поле, создаваемое зарядом <7х. Эта работа равна произведению заряда q2 на потенциал ф2 той точки поля,,в которую он внесен: №2=(72ф2, гДе Фг= =дг/ (4яе0г12). Аналогично, считая, что заряд qx вносится в поле, создаваемое зарядом q2, для энергии системы получим №1=^1, где ф1=<72/(4яе0г12). Поэтому энергию системы можно записать в симметричном виде:
l 1 2 = j (<7хФ1 + <72ф.) = у ? <7,ф,-
<= I
Теперь предположим, что формула (4.3) справедлива для N точечных зарядов, и докажем ее справедливость для системы (N+1) зарядов. При внесении (УУ+1)-го заряда энергия системы изменится на величину, равную работе, совершаемой внешними силами:
WN+i — + (4-5)
Здесь Wдг, согласно предположению, определяется формулой (4.3), а работа, совершаемая внешними силами при перемещении заряда qN+i из бесконечности в точку поля с потенциалом фдг+1, равна A=qN+1(pN+1, где
(4-6)
— потенциал этой точки поля, создаваемый всеми зарядами, кроме qN+1.
После внесения заряда <7^+1 изменяются. потенциалы всех точек поля, кроме той, где находится этот заряд. Потенциал точки, в которой находится г-й заряд, теперь будет равен ф*:
^=<Р'+4лЭГN+i ф^+1=ф^1- (4-7)
Теперь выразим энергию системы (N+1) зарядов (4.5)
§ 4. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО поля
221
через новые значения потенциалов ф* е помощью соотношений (4.7): ,
N
^лг+1 = Т L 4t (& — 1пеТ*я;т) + tor+iVMH'
Сумма произведений qi на второе-слагаемое в скобках в правой части этого равенства, в силу формулы (4.6), равна —qN+i4>N+i- Поэтому
¦ N ' N+1
Wn+-l=y X —у <7лг+1флг+1 + <7лг+1флг+1 = у XI 1=1 1=1
Таким образом, формула (4.3) для энергии системы точечных зарядов доказана.
Эта формула справедлива и в том случае, когда, наряду с точечными зарядами, в систему входят заряженные проводники, причем в слагаемых, соответствующих проводникам, qt есть полный заряд-проводника, а ф1 —1 его потенциал, создаваемый как другими зарядами, так и его собственным. Покажем это.
