Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
204
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
•
поток напряженности поля точечного заряда q через любую охватывающую заряд замкнутую поверхность 2 (рис. 1.1), как и число выходящих из этой поверхности силовых линий, равен q/e0. При этом вектор нормали к элементарным площадкам замкнутой поверхности следует направлять наружу. Если заряд внутри поверхности отрицателен, то силовые линии входят внутрь этой поверхности и связанный с зарядом поток вектора напряженности поля также отрицателен.
Если внутри замкнутой поверхности находится несколько зарядов, то, в соответствии с принципом суперпозиции, будут складываться потоки напряженностей их полей. Полный поток будет равен q/en, где под <7 следует понимать алгебраическую сумму всех зарядов, находящихся внутри поверхности.
Теперь можно окончательно сформулировать теорему Гаусса: поток N вектора напряженности электрического поля Е в вакууме через любую замкнутую поверхность пропорционален полному заряду q, находящемуся внутри этой поверхности г
N = ±. е0
Теорема Гаусса широко используется в электростатике. В некоторых случаях с ее помощью легко рассчитываются поля, создаваемые симметрично распределенными зарядами.
Применим теорему Гаусса для расчета напряженности электрического поля равномерно заряженного по поверхности шара радиуса R. Распределение зарядов, создающих поле, в этом случае обладает сферической симметрией. Поэтому такой же симметрией обладает и поле. Силовые линии такого поля направлены по радиусам, а величина напряженности одинакова во всех точках, равноудаленных от центра шара. Для того чтобы найти величину напряженности поля Е(г) на расстоянии г от центра шара, проведем мысленно концентрическую с шаром сферическую по-' верхность радиуса г. Поскольку во всех точках этой сферы напряженность поля направлена перпендикулярно ее поверхности и одинакова по величине, то поток напряженности просто равен произведению величины напряженности поля на площадь поверхности сферы:
7V =? (г) 4ял*. (1.5)
i 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ЗАРЯД И ПОЛЕ
'208
Но эту величину можно выразить и с помощью теоремы Гаусса. Если нас интересует поле вне шара, т. е. при r>R, то N=q/e0 и, сравнивая с (1.5), находим
Если же интересоваться полем внутри шара, т. е. при r<.R, то N=0, так как весь распределенный по поверхности шара заряд находится вне мысленно проведенной нами сферы. Поэтому поле внутри шара отсутствует:
Е — 0 (г < R).
Аналогично можно рассчитать электростатическое поле, создаваемое бесконечной плоскостью, заряженной с плотностью +а, постоянной во всех точках плоскости. По соображениям симметрии можно считать, что сйловые линии перпендикулярны к плоскости, направлены от нее в обе стороны и имеют всюду одинаковую густоту. Действительно, если бы густота силовых линий в разных точках была различной, то перемещение заряженной плоскости вдоль самой себя приводило бы к изменению поля в этих точках, что противоречит симметрии системы — такой сдвиг не должен изменять поле.
Другими словами, поле бесконечной равномерно заряженной плоскости является однородным.
В качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Гаусса выберем поверхность цилиндра, построенного следующим образом: образующая цилиндра параллельна силовым линиям, а основания имеют площади S, параллельны заряженной плоскости и лежат по разные стороны от нее (рис. 1.3). Поток напряженности поля через боковую поверхность равен нулю, поэтому полный поток через замкнутую поверхность равен сумме потоков через основания цилиндра:
N = 2ES.
/^1
л™ А
ъ
1
! 1
1 1
' V/ W
¦ст --- - --
S+6
Рис. 1.3. р вычислению напряженности поля равномерно заряженной плоскости.
206
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
По теореме Гаусса этот же поток определяется зарядом той части плоскости, которая лежит внутри цилиндра, и равен aS/e0. Сравнивая эти выражения для потока, находим
В качестве других примеров полей, создаваемых симметрично распределенными источниками, можно привести поле равномерно заряженной по длине бесконечной прямолинейной нити, поле равномерно заряженного бесконечного кругового цилиндра, поле шара, равномерно заряженного по объему, и т. п. Теорема Гаусса позволяет во всех этих случаях легко рассчитывать напряженность поля.
§ 2. Проводники в электрическом поле
Необходимым условием электростатического равновесия проводника является равенство нулю напряженности электрического поля внутри проводника. Если бы внутри проводника существовало макроскопическое поле, то свободные заряды (в металлах — электроны) пришли бы в движение, т. е. равновесие было бы нарушено. Условие Е=0 должно быть выполнено для всех точек внутри проводника независимо от того, заряжен он сам или помещен во внешнее электростатическое поле.
