Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
241
вленных участков контура ABC А. Обозначив потенциалы узлов через фл, фв и фс, получим
= фв —
/2^2 = Фв — Фс—«?2. (7 .2)
^3^3 = Фс—Фл+<?з-
В этих формулах через Rk обозначено полное сопротивление участка, по которому течет ток Ik. Легко заметить, что если первое уравнение системы (7.2) умножить на —1 и затем сложить почленно все три уравнения, то потенциалы узлов выпадают:
— + + = — S\— Sz~\~S3- (7.3)
Глядя на формулу (7.3), нетрудно сформулировать правило, с помощью которого можно было бы непосредственно получить это равенство: нужно выбрать определенное направление обхода замкнутого контура (например, по часовой стрелке) и приравнять алгебраическую сумму произведений сил токов на сопротивления соответствующих участков алгебраической сумме э.д. с., встречающихся в этом контуре. При этом ток считается положительным, если его направление совпадает с направлением обхода контура, и отрицательным в противоположном случае; э. д. с. берется со знаком «+», если она повышает потенциал в цепи в направлении обхода контура, и со знаком «—», если понижает. Это и есть второе правило Кирхгофа, которое можно коротко записать так:
п т
2 IkRk ~ 2 Si, (7.4)
fe=1 i=l
где п — число неразветвленных участков в рассматриваемом контуре (совпадающее с числом встречающихся в этом контуре узлов), а т — число э. д. с., действующих в кон-туре.
Теперь можно сформулировать общие правила расчета произвольных разветвленных цепей постоянного тока.
1. Обозначить на схеме токи во всех неразветвленных участках, произвольно задавая им направление.
2. Согласно первому правилу Кирхгофа написать уравнения (7.1) для всех узлов, кроме одного (уравнение для последнего узла писать не нужно, так как оно является следствием предыдущих).
242
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток
3. Согласно второму правилу Кирхгофа составить уравнения (7.4) для всех простых контуров, которые можно выделить в данной цепи и которые не получаются наложением уже рассмотренных. Простым считается такой контур, при обходе которого мы побываем в каждой точке только по одному разу. В правильно выбранной системе контуров
каждый участок цепи должен фигурировать по крайней мере в одном из контуров.
4. Если в результате решения получившейся системы уравнений какие-либо токи окажутся отрицательными, то в действительности их направление противоположно выбранному на схеме.
Для иллюстрации применения правил Кирхгофа рассмотрим условия работы батареи из двух параллельно соединенных источников (рис. 7.2). Параметры схемы указаны на рисунке.
Обозначим токи в неразветвленных участках цепи через Ilt /2 и I и зададим им направления, как указано на рисунке. Пользуясь сформулированными правилами расчета цепей, составляем уравнение для токов в узле:
Рис. 7.2. Параллельное соеди нение источников тока.
/f + /2 — I — 0.
(7.5)
Выберем два простых контура, например, следующим образом: один содержит источник с э. д. с. <§х и сопротивление R, другой содержит оба источника тока. Обходя эти контуры против часовой стрелки, получаем следующие уравнения:
Itri + IR=€i, (7-6)
I lT i ^2^2 Si *?>2'
(7.7)
Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными токами 1и /2 и I, Выражаем /2 из уравнения (7.5) и подставляем в (7.7):
(7.8)
§ 7. РАСЧЕТ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
243
Умножая (7.6) на тъ а (7.8) на R и складывая их почленно, находим 1{1
т $l(r2~\~R) <§гЯ /-7 п\
П *(ri+ /¦,) +/у, '
Исключая аналогично из уравнений (7.6) и (7.8) /*, находим /:
Выражение для /2, которое просто находится из уравнения
(7.5), можно, учитывая симметрию схемы, написать и непосредственно, заменяя в (7.9) индексы 1^2:
Выражение (7.10) показывает, что ток / через нагрузку R всегда положителен и, следовательно, течет в направлении, указанном на схеме. Из (7.9) и (7.11) видно, что при равных <§! и <§ъ токи через источники Л и /2 тоже подо-жительны. Если же, например, ?{>?г, то Л всегда положителен, в то время как ток /2 может быть и отрицательным. В таком случае он течет в направлении, противоположном указанному на рис. 7.2. Это означает, что источник (?\ не отдает энергию во внешнюю цепь, а сам потребляет энергию от источника
Выясним, при каких условиях источник (при будет работать нормально, т. е. отдавать энергию во внешнюю цепь. Из (7.11) видно, что /2>0 при <§2 (>Ч+/?)
—Л/?>0. Переписав это условие в виде
видим, что второй источник работает нормально, если его
э. д. с. больше напряжения U на зажимах первого источника в схеме, где только первый источник замкнут на сопротив* ление R. Полученный результат легко понять из следующих простых соображений. Пусть подключен к сопротивлению R только первый источник. Если напряжение на его зажимах U—SiR/(ri-\-R) больше <§г, то, подключай <§г параллельно <§и мы фактически ставим второй источ* ниц на «зарядку»,
