Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
При движении тела в вязкой жидкости или газе на тело, наряду с подъемной силой, действует сила лобового сопротивления. Можно указать две причины возникновения
Рис. 15.8. К возникновению циркуляции воздуха вокруг крыла самолета.
этой силы. Во-первых, вклад в лобовое сопротивление дают касательные силы внутреннего трения, действующие со стороны потока жидкости на «прилипший» к поверхности тела пограничный слой. Во-вторых, лобовое сопротивление возникает вследствие различия в силах давления на переднюю и заднюю части тела вследствие несимметричности картины обтекания вязкой жидкостью даже симметричного тела.
§ 16. Метод анализа размерностей
Заканчивая изучение механики, познакомимся еще с одним методом исследования физических процессов — так называемым методом анализа размерностей.
$ 16. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
125
Рассмотрим задачу, -ответ на которую нам хорошо известен: с какой скоростью упадет на землю тело, свободно падающее без начальной скорости с некоторой высоты h, если сопротивлением воздуха можно пренебречь? Вместо того, чтобы непосредственно определять эту скорость, пользуясь соотношениями кинематики, попробуем рассуждать следующим образом. От чего вообще может зависеть величина этой скорости? Довольно очевидно, что от высоты И. и от ускорения свободного падения g она непременно должна зависеть. Поколебавшись, мы можем включить в число величин, от которых зависит скорость падения, и массу тела т, хотя вообще-то легко сообразить, что от массы зависимости быть не должно. Итак, предположим, что скорость падения зависит от h, g и т:
Какой вид может иметь функция /?
Ответить на этот вопрос можно с помощью анализа размерностей. В любой системе единиц имеется несколько физических величин, для которых единицы выбраны произвольно и считаются основными. В системе единиц СГС (а для механических величин и в' СИ) в качестве основных выбраны единицы длины L, времени Т и массы М. Единицы всех остальных физических величин выражаются через основные. Например, единица скорости выражается через основные единицы длины и времени как LT~1. Выражение единицы любой физической величины в определенной системе единиц через основные единицы этой системы называется размерностью данной физической величины.
Поскольку складывать можно только величины одинаковой размерности, то после некоторого раздумья можно для искомой функции f предложить такую формулу:
где С — некоторое постоянное число (безразмерная постоянная), а х, у и г — неизвестные числа, которые следует определить. Теперь учтем то обстоятельство, что если формула (16.2) правильна, то размерность ее левой части должна совпадать с размерностью правой. Размерность скорости есть LT~l, размерность высоты h есть L, размерность ускорения свободного падения g равна L7’-a, и,
v = f(h, g, m).
(16.1)
v = Chxgym*,
(16.2)
126
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
наконец, размерность массы пг равна М. Поскольку постоянная С безразмерна, то формуле (16.2) соответствует следующее равенство размерностей:
LT~1 = LX (ЬТ~*У Мг. (16.3)
Это равенство должно выполняться тождественна, независимо от того, каковы численные значения h, g и пг. Поэтому-следует приравнять показатели степеней при L, Т и М:
L 1 = х + у,
Т -1 = -2 у, (16.4)
М 0 = г.
Решая систему (16.4), находим г = 0, у— 1/2, *=1/2, и поэтому формула (16.2) принимает вид
v^Ch'^g'^m0 = СУ gh. (16.5)
Истинная величина скорости равна, как известно, V2gh . Итак, изложенный подход дал нам возможность определить правильный вид зависимости v от h, g и пг и не дал возможности найти значение постоянной С, которая на самом деле равна J/2.
Теперь сразу возникает довольно много вопросов. Прежде всего, означает ли успех в разобранном примере, что это действительно универсальный способ нахождения вида зависимости между различными физическими величинами? Если да, то как определить, от каких параметров зависит интересующая нас величина? Если найдены эти параметры, то всегда ли искомая зависимость выражается формулой вида (16.2), всегда ли система уравнений типа (16.4) позволит однозначно определить показатели степеней всех величин, входящих в формулу (16.2)? Как определить значение численной постоянной С? И т. д. Не будем пытаться сразу получить исчерпывающие ответы на эти вопросы, а попытаемся постепенно выяснить все,, что нас интересует, рассматривая конкретные примеры.
Первый вопрос, пожалуй, самый трудный. Судить об универсальности метода можно, только детально изучив его во всех отношениях. Поэтому мы пока оставим его в покое, разумно предположив, что, по крайней мере, всегда можно попытаться воспользоваться изложенным подходом.
§ 16. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
127
Несколько яснее обстоит дело со вторым вопросом. Таблицу основных параметров, определяющих изучаемое явление, всегда можно составить, если известны описывающие его физические законы. В ряде случаев определяющие явление параметры можно указать и тогда, когда физические законы неизвестны. При определении системы параметров нужно, как и при составлении уравнений на основе физических законов, упростить, схематизировать изучаемое явление. Как правило, для использования метода анализа размерностей нужно знать меньше, чем для составления уравнений движения.
