Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Равенство размерностей левой и правой частей Lx = L°(LxT-y(LvT->yM*
(16.15)
(16.14)
Lx 1 =b,
Ly 0 = a + c,
T 0= —6—2c, M 0 = d.
(16.16)
130
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Решая эту систему, находим
d = 0, Ь= 1, с = —1/2, а«1/2 (16.17)
и получаем формулу (16.13). Такое разложение размерности длины по взаимно перпендикулярным направлениям получило название «векторных единиц длины». Их использование, как мы видим, существенно увеличивает возможности метода анализа размерностей.
Анализ размерностей является одним из универсальных методов исследования физических явлений и очень широко используется. Великий физик Энрико Ферми часто утверждал, что действительно понимающие природу того или иного явления должны уметь получать основные соотношения из соображений размерности.
Особенно широкое применение получил метод анализа размерностей при изучении движения вязкой жидкости и газа и при изучении движения твердых тел в жидкости и газе. В этом наиболее сложном разделе динамики, где очень многие вопросы не решены по настоящее время, метод анализа размерностей зачастую оказывается единственным подходом, позволяющим теоретически осмыслить результаты различных экспериментальных исследований. Число физических величин, определяющих то или иное явление, иногда настолько велико, что оказывается практически невозможным не только решить уравнения движения, но и даже составить их. Но и в таких случаях анализ размерностей позволяет найти некоторые основные соотношения между этими величинами, что фактически означает уменьшение числа независимых параметров. Сочетание метода размерностей с экспериментом дает возможность получать частичную информацию о свойствах изучаемых систем и в очень сложных случаях, когда др.угими методами ее вообще получить не удается.
В качестве примера использования анализа размерностей рассмотрим одну из простейших задач этого сложного раздела механики — задачу о сопротивлении, испытываемом твердым телом при движении в вязкой среде — жидкости или газе. Сопротивление движению в вязкой среде зависит от большого числа параметров, относительная роль которых меняется в зависимости от скорости движения тела.
S'16. МЕТОД АНАЛИЗА РАЗМЕРНОСТЕЙ
131
При небольших скоростях движения основной вклад в сопротивление определяется вязкостью жидкости, а ее плотностью и сжимаемостью можно пренебречь. При больших скоростях движения определяющую роль играет как раз плотность жидкости, а не ее вязкость. И, наконец, если скорость движения твердого тела становится сравнимой со скоростью звука в жидкости, то при расчете силы сопротивления необходимо учитывать сжимаемость среды. Таким образом, набор параметров, определяющих величину сопротивления движению, включает в себя скорость тела v, плотность среды р, ее вязкость г), сжимаемость
и линейные размеры тела 1Х, 1У и lz. Будем
считать, что тело обладает симметрией относительно оси г, а его скорость v направлена вдоль оси симметрии. Тогда тело характеризуется линейным размером I вдоль оси симметрии и площадью поперечного сечения S. Будем использовать векторные единицы, длины, приписывая разные размерности Lx, Lv и Lz для расстояний вдоль осей х,у и г.
Рассмотрим случай, когда скорость движения тела много меньше скорости звука в среде. При этом сжимаемостью среды можно пренебречь, и мы имеем пять параметров: V, р, т], I, S. Выражения для размерностей этих величин имеют следующий вид:
v LzT-\
Р {LxLyLz)~lMt
TJ L-'T-m, (16.18)
t
S LxLy.
Прежде всего определяем безразмерные параметры, которые можно составить из этих величин:
у = v*pyr\2Salw. (16.19)
Выражение (16.19) приводит к следующему равенству размерностей:
1 ={1^7-1)* iL^Ly'L^My (Ц'Т-Шу {LxLy)"Lf. (16.20)
132
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
Система уравнений для показателей степеней х, у, г, ниш имеет вид
Lx 0 =*—0 + ы,
Lv 0 - —у-\-и,
Решая ее, находим х—у=и——z, w—z. \ Следовательно, безразмерный параметр у, согласно (16.19); имеет вид
Из выражения (16.22) видно, что в рассматриваемом случае имеется всего один независимый безразмерный параметр /т]/(5ри). Поэтому выражение для силы сопротивления равно произведению какой-либо комбинации из величин v, р, т), S и I, имеющей размерность силы, направленной вдоль оси z, на некоторую функцию безразмерного параметра lr\/(Spv). Как легко убедиться, произведение и2р5 как раз и имеет размерность силы, направленной по оси z. Поэтому выражение для силы сопротивления F записывается в виде
Эта формула позволяет сделать очень интересные выводы о силе сопротивления. Пусть скорость движения настолько мала, что определяющую роль в сопротивлении играет вязкость жидкости т). Так как сила сопротивления при этом пропорциональна вязкости, то
