Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутиков Е.И. -> "Физика для поступающих в вузы" -> 49

Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.

Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика для поступающих в вузы — Наука, 1982. — 610 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikadlyapostupaushih1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 217 >> Следующая


пропорционален Y~Nl. Покажем это.

Будем с помощью измерительного микроскопа определять расстояние, на которое броуновская частица удаляется от начала координат за время t, многократно повторяя этот опыт. Всякий раз мы будем, получать разные значения этого расстояния, однако в большинстве опытов будут получаться близкие друг к другу значения, и лишь изредка будут получаться величины, заметно отличающиеся от остальных. Можно ввести среднее расстояние, на которое уходит частица от начала координат за время t, понимая под ним среднее по большому числу опытов. В однократном опыте.имеется большая вероятность получить значение расстояния, близкое к среднему. Подчеркнем, что речь идет именно о расстоянии до частицы от начала координат, а направления перемещений в отдельных опытах могут быть совершенно различными — все направления равновероятны.

Задача состоит в том, чтобы найти зависимость от времени среднего расстояния, которое будем обозначать (R).

Разделим интересующее нас время наблюдения t на большое число равных малых промежутков Дt таких, что в течение каждого промежутка частица испытывает огромное число ударов со стороны молекул жидкости. По существу, такое рассуждение означает многократное повторение опыта по измерению среднего расстояния, пройденного частицей за время Дt, причем каждый раз мы совмещаем начало координат с положением частицы в конце предыдущего промежутка времени At. Другими словами, это такой же рпыт, как и рассмотренный выше, только осуществляемый за промежуток времени At, а не t. Поскольку и за промежуток At частица испытывает огромное число ударов, все приведенные выше рассуждения остаются в силе: направление перемещения за каждый «шаг» Ы совершенно произвольно и никак не связано с направлением перемещений в другие промежутки, а расстояние, прохо-
$ 1. БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ

137

димое частицей за At, будет примерно одинаковым для большинства промежутков.

Для простоты будем считать эти расстояния одинаковыми для всех шагов и обозначим через L.

Пусть в результате N таких последовательных шагов частица оказалась в точке с радиус-вектором RN. Тогда после очередного шага она попадет в точку

Rtf+i = RNJr^N+i> 0-1)

где Ln+1 — вектор перемещения за (ЛГ+1)-й шаг, имеющий произвольное направление и определенную величину L. Расстояние частицы от начала координат после (ЛГ+1)-го шага равно

+ 2/?дг/,cosф + ZA (1 -2)

Здесь ф — угол между векторами RN и Ln+i. Найти среднее значение правой части этого выражения затруднительно, ибо усреднять нужно квадратный корень, а в общем случае среднее значение функции не равно этой функции от среднего значения аргумента: Ч{х))Ф!({х)). Легко заметить, что если возвести (1.1) или (1.2) в квадрат:

Rn+i — Rn "Ь 2RtfL cos ф -(- L2, (1-3)

то среднее значение квадрата смещения может быть легко найдено. Поэтому будем использовать для характеристики удаления броуновской частицы от начала координат не {R), а Усредняя левую и правую части (1.3) н учиты-

вая, что угол ф с равной вероятностью принимает любые значения от 0 до 2я, т. е. (соэф)=«0, получаем

<Rn+i> ^ <R%> + L%. (1.4)

Используя метод математической индукции, на основе

соотношения (1.4) легко показать, что

<R%>~NLK

Таким образом, среднее знгГчение квадрата смещения пропорционально числу шагов, а поскольку шагн совершаются за одинаковые промежутки времени At, то

<R*>~at. (1.5)

Это, конечно, не означает, что среднее смещение пропорционально времени. Броуновское движение частицы
138 ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

таково, что средний квадрат смещения растет, пропорционально времени. Другими словами, квадратный корень из </?2) растет со временем пропорционально Yt. Эта величина, т. е. называемая средним квадратичным

значением R, не равна среднему значению расстояния (R) частицы от начала координат спустя промежуток времени t, которое мы хотели определить! Однако можно показать, что эти величины отличаются только постоянным множителем. Поэтому среднее расстояние броуновской частицы от начала координат также пропорционально Yt\

<Я> = рУ 7. (1.6)

Совершенно очевидно, что коэффициенты а и р в формулах (1.5) и (1.6) зависят от интенсивности теплового движения молекул жидкости, удары которых приводят к броуновскому движению взвешенной частицы, т. е. в конечном счете от температуры.

Изучение броуновского движения сыграло большую роль в развитии молекулярно-кинетической теории строения вещества. Именно броуновское движение не только принесло неопровержимое доказательство реальности атомов и молекул, но и позволило впервые подсчитать количество молекул в макроскопическом объеме вещества, т. е. определить значение числа Авогадро: tVa=6,02 -102а моль-1. Таким образом было окончательно установлено, что тепловая форма движения материи обусловлена хаотическим движением атомов или молекул, из которых состоят макроскопические тела.
Предыдущая << 1 .. 43 44 45 46 47 48 < 49 > 50 51 52 53 54 55 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed