Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
38
ДИНАМИКА
* '/////////////////А
помимо ускорений, подлежат определению и некоторые из сил. Но и в этом случае можно найти все неизвестные, так как к уравнениям движения добавляются уравнения, описывающие наложенные связи.
В качестве примера механической системы со связями рассмотрим простой механизм, схематически изображенный на рис. 4.3. Пусть массы грузов тх и т3 много больше масс блоков и нити, а трение отсутствует. Тогда в первом приближении блоки и нить можно считать вообще не имеющими массы. Это условие позволяет считать натяжение нити одинаковым по всей ее длине. Составим уравнение движения для каждого из грузов. СйЛы, действующие на'грузы, показаны на рис. 4.3. Тогда
ш
/77,
(4.12)
Щ9
Рис. 4.3. Силы, действующие на грузы при наличии связей.
гдеа! и а2
m2g+T2 = m2a2,
— ускорения грузов. Спроектируем эти уравнения на вертикальное направление: ‘
+ (4.13)
— m2g + T2 = m2a2X.
Обозначим величину силы натяжения нити через Т. Тогда вследствие третьего закона Ньютона Т2=Т, а в силу того, что масса левого блока равна нулю, 7’1=27\ Теперь уравнения движения (4.13) перепишутся в виде
-mtg + 2T = m,alx,
— m2g -\-Т = тга2х.
Система двух уравнений (4.14) содержит три неизвестных: проекции ускорений грузов на ось х и натяжение нити Т. Для нахождения неизвестных этих уравнений недостаточно. К ним следует добавить уравнение, описывающее наложенную связь. Наличие нерастяжимой нити приводит к существованию определенной связи между проекциями ускорений грузов. Чтобы установить эту связь, рассмотрим возможное перемещение грузов. Пусть, например, первый груз поднялся на расстояние Дл^. Тогда, как легко видеть из рис. 4.3, второй груз опустится на вдвое большее рас-
§ 8. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
39
стояние, т. е. его перемещение Д*2=—2Д*1. Поскольку эти перемещения пррисходят за одно и то же время Дt, то таким же соотношением будут связаны и проекции скоростей, и проекции ускорений грузов:
найти проекции ускорений грузов и а2х и силу натяжения нити, т. е. реакцию связи Т:
Если 2m2>mu то ускорение первого груза направлено вверх, но это еще ничего не говорит о направлении его движения. Для нахождения направления движения нужно знать еще начальную скорость. А для определения положения грузов в любой момент времени потребуется еще и знание их начального положения.
§ 5. Силы в природе. Гравитационные взаимодействия
В динамике Ньютона природа сил, входящих в основные уравнения, несущественна. Второй закон Ньютона определяет ускорение тела независимо от природы сил, вызывающих это ускорение.
Все многообразие.встречающихся в природе взаимодействий сводится всего лишь к четырем типам. Это гравитационное, электромагнитное, ядерное (или сильное) и так называемое слабое взаимодействия. Из них, используя понятие силы в смысле механики Ньютона, можно рассматривать только гравитационное и электромагнитное взаимодействия. Ядерные и слабые взаимодействия проявляются на столь малых расстояниях, когда законы механики Ньютона уже неприменимы. Область проявления этих взаимодействий ограничена процессами, происходящими с атомными ядрами и элементарными частицами.
В отличие от короткодействующих ядерного и слабого взаимодействий, гравитационное и электромагнитное взаимодействия — дальнодействующие: их действие проявляется на очень больших расстояниях. По этой причине
^2х й2х 2alJC. (4.15)
Учитывая эту связь ускорений, можно из системы (4.14)
(4.16)
(4.17)
4t)
ДИНАМИКА
именно электромагнитное и гравитационное взаимодействия определяют все крупномасштабные явления, начиная от явлений на молекулярном уровне и кончая процессами в далеких галактиках. Все механические явления в окружающем нас макроскопическом мире определяются исключительно гравитационными и электромагнитными силами. Гравитационные силы описываются наиболее простыми количественными закономерностями, но, несмотря на эту простоту, их проявления могут быть весьма сложны и многообразны. Движение планет и спутников, пол'ет артиллерийских снарядов, плавание тел в жидкости — во всех этих явлениях проявляется действие гравитационных сил.
Количественные закономерности электромагнитных сил гораздо сложнее, а их проявления еще более разнообразны. Кулоновское электростатическое взаимодействие зарядов, действие магнитного поля на заряды и токи, упругие силы в твердых телах, возникающие при их деформации, упругие силы в жидкостях и газах, наконец, силы трения при движении тел — все это проявления взаимодействий электромагнитной природы.
Гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения,.открытым Ньютоном. Материальные точки притягиваются с силой, пропорциональной произведению их> масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними:
