Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Коэффициент пропорциональности 7 носит название гравитационной постоянной. Эта величина характеризует интенсивность гравитационного взаимодействия и является одной из основных физических констант. Ее численное значение зависит от выбора системы единиц и в единицах СИ имеет значение 6,673-Ш-11 Н-ма/кг2 (или м3/(кг-с2)).
Формула (5.1) дает только величину силы притяжения точечных тел. На самом деле есть две силы: сила тяготения действует на каждое из взаимодействующих тел. Эти силы равны по величине и противоположны по направлению в полном соответствии с третьим законом Ньютона. Они направлены вдоль прямой, соединяющей материальные точки. Такого рода силы носят название центральных.
§ б. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 41
Векторное выражение, например, для силы Fl2, с которой тело с массой тг действует на тело с массой тх (рис. 5.1), имеет вид
Flt = ут.пц -j • (5.2)
При установлении закона всемирного тяготения Ньютон исходил из открытых Кеплером на основании астрономических наблюдений Тихо Браге законов движения планет Солнечной системы. Три закона Кеплера гласят:
1. Траектории, по которым движутся планеты, представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых находится Солнце.
2. Радиус-вектор планеты описывает за равные времена одинаковые площади.
3. Для всех планет отношение квадрата периода обращения к кубу большой полуоси эллиптической орбиты имеет одно и то же значение.
Орбиты большинства планет мало отличаются от круговых. Для простоты будем считать их точно круговыми. Это не противоречит первому закону Кеплера, так как окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого оба фокуса совпадают. Согласно второму закону Кеплера движение планеты по круговой траектории происходит с постоянной по величине скоростью. При этом третий закон Кеплера приводит к тому, что отношение квадрата периода обращения Т к - кубу радиуса круговой орбиты R одинаково для всех планет:
^з= const. (5.3)
Движущаяся по окружности с постоянной скоростью планета обладает центростремительным ускорением, равным 4niR/Tt. Воспользуемся этим обстоятельством, чтобы определить силу, которая сообщает планете такое ускорение (при выполнении условия (5.3)). Согласно второму закону Ньютона величина ускорения равна отношению
Рис. 5.1. Гравитационное взаимодействие материальных точек.
42
ДИНАМИКА
действующей на планету силы к массе планеты!
4я2Я F ¦
т
(5.4)
Отсюда с учетом (5.3) легко установить, как F зависит от массы планеты и от радиуса ее орбиты. Умножая (5.4) на R2, видим, что в левой части, согласно (5.3), стоит одинаковая для всех планет величина. Значит, и правая часть, равная FR*/m, постоянна. Поэтому
_ т R}'
т. е. сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния от Солнца и пропорциональна массе планеты. Но Солнце и планета выступают в их взаимодействии как равноправные тела. Они отличаются друг от друга только величиной масс. И поскольку сила притяжения пропорциональна массе планеты т, то она должна быть пропорциональна и массе Солнца М:
п тМ
Г /Х' .
R2 ‘
Вводя коэффициент пропорциональности у, не зависящий ни от масс взаимодействующих тел, ни от расстояния между ними, приходим к формуле для закона всемирного тяготения (5.1).
Гравитационное взаимодействие тел можно описывать, используя понятие гравитационного поля. Ньютоновская формулировка закона всемирного тяготения соответствует представлению о непосредственном действии тел друг на друга. на расстоянии, без какого бы то ни было участия промежуточной среды. В современной физике считается, что передача любых взаимодействий между телами осуществляется посредством создаваемых этими телами полей. Одно из тел непосредственно не действует на другое, оно наделяет окружающее его пространство особыми свойствами — создает гравитационное поле, особую материальную среду, которая и воздействует на другое тело. Но никакой наглядной картины поля дать невозможно, поскольку само понятие физического поля относится к числу основных понятий, которые невозможно определить через другие, более простые понятия. Можно только описать его свойства. Отметим,
§ 5. ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 43
что в рамках механики Ньютона оба представления — о действии тяготения на расстоянии и о взаимодействии через гравитационное поле — приводят к одинаковым результатам и являются одинаково допустимыми.
Силовой характеристикой гравитационного поля является его напряжённость, измеряемая силой, действующей на материальную точку единичной массы. Для гравитационного поля, создаваемого точечной массой М, на расстоянии г от нее величина напряженности g(/")> согласно закону всемирного тяготения (5.1), равна
?(0 = Y;r- * ч (5-5)
Из соображений симметрии ясно, что поле точечной массы является сферически симметричным, т. е. вектор напряженности g в любой точке направлен к силовому центру, а величина его зависит только от расстояния до центра.
