Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
F+N+FT, + G = 0. (6.2)
Ясно, что при перемещении ящика с ускорением придется тянуть за веревку с большим усилием. Для исследования соотношения (6.2) спроектируем его на вертикальное и горизонтальное направления:
Fs'ma + N — G = 0, (6.3)
F cos а—/\р = 0. (6.4)
Наша задача — исследовать зависимость величины силы F от угла а. Для этого необходимо исключить из уравнений
(6.3) и (6.4) силу реакции опоры N и силу трения F1V, так
как они тоже меняются при изменении а.
Для нахождения величины силы трения скольжения воспользуемся законом Кулона — Амонтона (6.1). Выражая силу реакции опоры N из соотношения (6.3), получаем
N
F
FrP
Ш///Ш, Ш////АШ
0
Рис. 6.2. Силы, действующие на передвигаемый волоком ящик.
^Тр = М- (G — /'sin а).
J 6. ДВИЖЕНИЕ С ТРЕНИЕМ. УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ '49
Подстановка этого выражения в (6.4) дает F (ос)----------------------- -----
Числитель не зависит от а, поэтому сила F будет наименьшей, когда знаменатель максимален. Итак, нам нужно найти максимум выражения
/ (ос) = cos ос -j- |Л sin ос. (6.5)
Проще всего это сделать, сведя / (ос) к одной тригонометрической функции угла а. Обозначив
|x = tg<p=^-^ (6.6)
г в т COS ф
и приведя правую часть выражения (6.5) к общему знаменателю, получим
cos (а—ф)
/(ос):
COS ф
Отметим, что замена (6.6) всегда возможна, поскольку тангенс может принимать любые значения. Теперь видно, что величина /(ос) максимальна при oc=tp=arctg ц. Именно под таким углом и следует тянуть за веревку.
Этот же вопрос можно рассмотреть и с несколько иной точки зрения. Прежде всего отметим, что формально введенная соотношением (6.6) величина <р вследствие закона Кулона — Амонтона имеет ясный смысл: это есть угол, образуемый векторной суммой сил N и FTр, т. е. силой Q, с нормальной к поверхности силой реакции N (рис. 6,3). Перепишем условие равномерного движения ящика (6.2) в виде
G Q F 0. (6.7)
Для ответа на поставленный вопрос удобно исследовать уравнение (6.7) графически. Прежде всего изобразим на чертеже известную по величине и направлению силу G (рис. 6.4). Что касается слагаемого Q, то нам заранее известно, как видно из рис. 6.3, лишь его направление. Поэтому через конец вектора G проводим прямую, составляю-
50
ДИНАМИКА
щую угол q>=arctg [х с вертикалью. На этой прямой будем откладывать силу Q, совмещая ее начало с концом вектора G. Положение конца вектора Q пока неизвестно. В соответствии с (6.7) сила F должна замыкать треугольник сил,
т. е. соединять конец вектора Q с началом вектора G. Как видно из рис. 6.4, величина силы Сбудет наименьшей, когда ее направление образует прямой угол с направлением Q, т. е. угол ф с горизонтом.
Пусть теперь требуется найти наименьшую силу, сообщающую ящику заданное ускорение а по горизонтали. Тогда уравнение (6.7) принимает вид
Графическое решение такой задачи показано на рис. 6.5. Интересно отметить, что и в этом случае направление силы F перпендикулярно направлению Q и составляет тот же самый угол ф=arctg |u. с горизонтом. Однако при достаточно большом ускорении а, когда gla<\i, перпендикуляр, опущенный из конца вектора та, пересечет направление О ниже конца вектора G, и, поскольку Q не может быть направлена вниз, наименьшая по величине сила F замыкает треугольник векторов G и та, т. е. Q=0. В этом случае ящик просто не соприкасается с горизонтальной поверхностью.
Можно рассмотреть случай, когда ящик тянут вверх по наклонной плоскости, и убедиться, что и в этом случае
Рис, 6.3. О физическом смысле величины ф.
G + Q +F= та.
§ 6. ДВИЖЕНИЕ С ТРЕНИЕМ. УПРУГИЕ ДЕФОРМАЦИИ , 51
та
сила F будет наименьшей, если ее направление перпендикулярно силе Q, т. е. образует угол <p=arctg jx не с горизонтом, а с наклонной плоскостью.
Величину трения можно менять различными способами. Наиболее распространенный способ уменьшения трения скольжения — использование смазки. При этом сухое трение между скользящими поверхностями заменяется вязким трением, т. е. трением между взаимно движущимися тонкими слоями жидкости. Но это не единственный способ уменьшать трение скольжения. Хорошо известно, что застрявший в доске гвоздь легче вытянуть, если при этом его поворачивать из стороны в сторону. В чем тут дело?
Рассмотрим опыт, схема которого изображена на рис. 6.6.
Брусок А лежит на горизонтальной
Рис. 6.5.
дование
Графическое исслс-движения ящика с
ускорением а.
ленте транспортера. Пружина К удерживает брусок от перемещения вместе с лентой при ее движении. Какая боковая сила F необходима для того, чтобы вызвать перемещение бруска поперек ленты транспортера? Опыт показывает, что эта сила при ¦ движущейся ленте будет гораздо меньше, чем при неподвижной, и тем меньше, чем быстрее движется лента. Эти результаты легко объяснить с помощью закона сухого трения.. Величина действующей на брусок силы трения при скольжении бруска, относительно ленты не зависит от скорости и равна произведению коэффициента трения [л, на вес бруска G. Направлена эта сила противоположно скорости бруска относительно ленты. При неподвижной ленте боковое скольжение бруска будет происходить только тогда, когда действующая сила F не меньше ц(/. Пусть теперь лента дви-
