Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Бутиков Е.И. -> "Физика для поступающих в вузы" -> 13

Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.

Бутиков Е.И., Быков А.А., Кондратьев А.С. Физика для поступающих в вузы — Наука, 1982. — 610 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikadlyapostupaushih1982.pdf
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 217 >> Следующая


§ 4. Механическое состояние. Уравнение движения

При движении материальной точки изменяется со временем ее положение, определяемое радиус-вектором г, ее скорость v, ускорение а и т. д. Говорят, что происходит изменение состояния материальной точки со временем. Что же понимают под механическим состоянием и заданием каких параметров оно определяется? Механическое состояние материальной точки в некоторый момент времени определено,' если для этого момента времени заданы ее радиус-вектор и скорость. Если известно механическое состояние материальной точки в какой-либо момент времени и действующие на нее силы, то с помощью второго закона динамики можно определить ее механическое состояние в последующие моменты времени, т. е. полностью предсказать ее движение. Именно по этой причине второй закон Ньютона часто называют уравнением движения, ибо он описывает эволюцию начального состояния системы во времени.
5 4. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

33

Остановимся на этом несколько подробнее. Второй закон Ньютона, или уравнение движения (3.1), позволяет при известных силах найти ускорение материальной точки. Но знание ускорения дает возможность определить только изменение скорости за некоторый промежуток времени. Чтобы найти само значение скорости к концу этого промежутка, нужно знать не только изменение скорости, но и ее значение в начальный момент. Аналогично, знание скорости позволяет найти изменение положения материальной точки за некоторое время. Чтобы найти сам радиус-вектор, нужно знать его значение в начальный момент. Например, в случае движения с постоянным ускорением скорость и радиус-вектор материальной точки в момент времени t определяются формулами

v(t) = v0 + at, {4])

r(t) = r0 + vj + ^-,

где Vo и г0 — скорость и радиус-вектор в начальный момент времени t=0. Уравнение движения дает возможность найти v(t) и r(t) только тогда, когда известно начальное состояние системы, т. е. величины ©0 и г0. Задание начальных условий для нахождения г» (0 и r(t) необходимо и в том случае, когда действующие силы таковы, что ускорение не остается постоянным. В некоторых случаях уравнение движения удается проинтегрировать, т. е. найти v(t) и r(t) как функции времени, которые также будут содержать начальные значения г»0и г0. Примерами таких случаев являются: движение материальной точки под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния от силового центра (движение планеты под действием притяжения к Солнцу, движение а-частицы в поле атомного ядра), движение под действием силы, пропорциональной смещению (гармонический осциллятор), и т. д.

В случае, когда уравнение движения не удается решить аналитически, его можно решать численно. Действующая на материальную точку сила может зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости: F=F(t, г, v). Пусть нам заданы начальные значения г0 и v0- Уравнение движения дает возможность найти ускорение аа в тот же момент времени. Зная ускорение, можно приближенно найти изменение скорости за малый промежуток времени ДU

Av — a0At,
34

ДИНАМИКА

откуда скорость к концу этого промежутка равна

®1 = ®0 + a0At. (4.2)

Зная скорость v0 в начальный момент, можно приближенно найти изменение радиус-вектора за то же время At:

Ar = v0At,

откуда значение радиус-вектора г1 к концу этого промежутка равно

ri-rB + v0At. (4.3)

Выбор величины промежутка времени определяется той точностью, которую мы хотим получить при таком приближенном вычислении. Чем меньше величина промежутка At, тем ближе к истинным будут значения©! игь вычисляемые по формулам (4.2) и (4.3). Найденные значения и гi подставляем в выражение для силы F(t, г, v) и с помощью уравнения движения находим ускорение ai материальной точки в конце промежутка времени At. Теперь повторяем описанную процедуру для следующего промежутка времени, причем роль начальных условий будут играть найденные по (4.2) и (4.3) значения и гг:

®2 = ®1 + а1Д/, ri = r1 + v1At. (4.4)

Затем все повторяется еще раз и т. д.

Если требуется найти изменение состояния материальной точки за большой промежуток времени, придется разбить этот промежуток на большое число шагов At. Чем меньше размер каждого шага, тем точнее будет результат, но необходимое число шагов при этом увеличивается. За повышение точности результатов приходится платить увеличением объема вычислений. Быстродействующие электронные вычислительные машины позволяют производить численное решение уравнений быстро и эффективно. Например, на современной ЭВМ всего 130 секунд занимает расчет одного оборота Юпитера вокруг Солнца, при котором с точностью до одной миллиардной учитываются возмущения от всех других планет.

При практическом выполнении расчетов имеют дело не с векторами, а с числами, поэтому каждое из приведенных выше векторных уравнений записывается в виде трех ска-
Предыдущая << 1 .. 7 8 9 10 11 12 < 13 > 14 15 16 17 18 19 .. 217 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed