Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
' (2Л0)
Это уравнение параболы с вершиной при х=0 , y=v\l2g. Ее ветви направлены вниз и пересекают горизонтальную ось в точках x=±vllg (рис. 2.3). Все траектории с данным р0 при разных значениях а, т. е. семейство парабол (2.5), целиком лежат под этой границей, и каждая из траекторий касается границы в одной точке. Другими словами, граница является огибающей для семейства таких траекторий. Через каждую цель, расположенную ниже границы, проходят две траектории, причем навесная касается границы до попадания в цель.
Фактически граница простреливаемой области представляет собой некоторую поверхность, а парабола (2.10) есть сечение этой поверхности вертикальной плоскостью, проходящей через начало координат. Вся поверхность
§ 2. КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 21
может быть получена вращением параболы (2.10) вокруг оси у.
Если с самого начала интересоваться только границей простреливаемой области, то ее можно найти сразу с помощью уравнения траектории (2.5). Действительно, рассмотрим цели, находящиеся на одной вертикали, отстоящей от ружья на расстояние х, и найдем на этой вертикали самую высокую точку, в которую еще может попасть пуля! Эта точка, очевидно, принадлежит границе. Таким образом, задача сводится к нахождению максимума у при заданном х, т. е. максимума квадратного трехчлена (2.5) относительно tga. Квадратный трехчлен имеет максимум при tga= =v2Jgx. Соответствующее максимальное значение получается подстановкой tga=v\lgx в (2.5). Результат совпадает с формулой (2.10).
Полученные выше результаты, как нетрудно убедиться, содержат все хорошо известные частные случаи. ' Так, например, максимальная высота подъема ymsix=vl/2g получается из уравнения (2.10) при х=0, а наибольшая дальность полета пули по горизонтали при условии,что ружье и цель находятся на одной высоте, получается из (2.10) при У=0: xmn=v\fg.
Теперь несколько усложним задачу и вместо пули рассмотрим полет дробинок, имеющих одинаковые по величине, но несколько различающиеся по углу с горизонтом начальные скорости. Покажем, что при малом разбросе направлений начальных скоростей все дробинки в полете пройдут почти через одну и ту же точку. Пусть ствол ружья образуем угол а с горизонтом (рис. 2.4). Будем характеризовать отклонение направления начальной скорости каждой дробинки от направления ствола углом б, который будем считать малым: 6<§са. Траектория дробинки, вылетевшей из ствола точно под углом а к горизонту (т. е. с 6=0), определяется уравнением (2.5). Уравнение траектории'дробинки, вылетевшей под углом а+6, получается из (2.5) заменой a на а+6:
t/ = xtg(a + 6) —J^[l +tg2(« + 6)]. (2.11)
2i'q
Наша задача — выяснить, пересекаются ли эти траектории. Если окажется, что пересекаются и при этом положение точки пересечения хотя бы приближенно не зависит от
22
КИНЕМАТИКА
величины б, то это и будет означать, что траектории всех дробинок пройдут через эту точку. Такую точку можно назвать фокусом пучка частиц.
Итак, для нахождения положения фокуса нужно найти решение системы уравнений (2.5) и (2.11), кроме очевидного
Рис. 2.4. Траектории дробинок при выстреле из ружья.
решения х=у=0, соответствующего точке вылета дробинок из ствола.
Преобразуем уравнение (2.11), воспользовавшись малостью угла б. Для этого используем формулу для тангенса суммы двух углов и учтем, что для малых углов tg8«6:
Учитывая, что при у<с1 справедливо соотношение j__ly ~ 1 + V *)> преобразуем (2.12), сохраняя только линейные по б члены: tg (а + б) « (tg а + б) (1 + б tg а) « tg а + б (1 + tg2 а).
(2.13)
*) Действительно, умножая числитель и знаменатель дроби -------------
1 — Y
1 4- V
на 1+Y, получаем -j--------Пренебрегая у2 по сравнению с единицей,
получаем приведенную формулу.
§ 2, КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 23
Подчеркнем, что в (2.13) отброшены члены порядка б2 и выше. Используя (2.13), получим, что в этом же приближении
1 + tg2 (а + 6) « 1 + tg2 а+ 26 tg а (1 + tg2a). (2.14)
Подставляя (2.13) и (2.14) в уравнение траектории (2.11), найдем
у= xtga—1^(1 +tg2a) +
2v0
-f б
х(1 +tg2a)—^tga(l +tg2 a)
(2.15)
Рассматривая уравнения (2.5) и (2.15) как систему уравнений для нахождения координат фокуса х и у, видим, что положение фокуса, если он существует, не зависит от б, ибо для его нахождения нужно просто приравнять нулю квадратную скобку в выражении (2.15):
2
t'o
gtga *
(2.16)
Подставляя найденное значение х в уравнение (2.5), определяем ^-координату фокуса:
у = l-ctg2a). (2.17)
При нахождении координат фокуса мы пренебрегали в уравнении траектории всеми степенями б выше первой, поэтому полученное свойство фокусировки (независимость координат точки пересечения разных траекторий от б) является приближенным и справедливо с точностью до членов, линейных по б. На самом деле пересечение различных траекторий происходит не в одной точке, а в некоторой малой области, линейные размеры которой в направлении, перпендикулярном к траектории, пропорциональны б2 (рис. 2.4).
