Физика для поступающих в вузы - Бутиков Е.И.
Скачать (прямая ссылка):
Из формул (2.16) и (2.17) видно, что положение фокуса зависит от угла а, т. е. от наклона ствола ружья. Исключая из (2.16) и (2.17) угол а, получим геометрическое место фокусов при всевозможных значениях а:
24
КИНЕМАТИКА
Сравнивая это выражение с формулой (2.10), немедленно убеждаемся, что фокусировка пучка дробинок происходит как раз в точках границы достижимых при данной начальной скорости целей. Это еще раз указывает на приближенный характер фокусировки, ибо выше было показано, что через каждую точку границы проходит только одна траектория.
Рис. 2.5. Траектории дробинок в отсутствие тяготения.
На самом деле пересечение траекторий пучка частиц происходит не в самой точке границы, а в некоторой малой области вблизи этой точки, но, конечно, эта область целиком лежит ниже границы.
Свойство фокусировки пучка частиц можно установить не только с помощью уравнений траекторий, но и непосредственно из уравнений движения.
Проследим за полетом вылетевших одновременно из ружья дробинок во времени. Предположим на минуту, что поле тяготения отсутствует. При этом дробинки полетят равномерно и прямолинейно, образуя «веер» (рис. 2.5). В произвольный момент времени t дробинки будут находиться на дуге АВ окружности радиуса vat с центром в точке вылета О. Длина этой дуги равна c2v()tbm3X. При малых 6 эту дугу можно приближенно (с точностью до членов порядка б2) заменить хордой. В поле тяжести все дробинки падают с одинаковым ускорением и поэтому отрезок АВ, на котором они находятся, перемещается параллельно самому себе, монотонно увеличиваясь в длине с течением времени. Отсюда ясно, что время полета до фокуса будет
§ 2. КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ В ОДНОРОДНОМ ПОЛЕ 25
разным для разных дробинок, а сама фокусировка возможна, только если весь отрезок АВ пройдет через одну точку. Для этого в некоторый момент времени скорости всех дробинок должны оказаться параллельными отрезку АВ, и дробинки пройдут через фокус одна за другой. Если при этом вспомним, что на самом деле дробинки находятся не на отрезке прямой, а на дуге (рис. 2.5), то сразу станет очевидным, что в действительности дробинки пройдут не через одну точку, а через некоторую малую область.
Эти рассуждения позволяют легко найти и положение фокуса. Определим, в какой момент времени направление скорости дробинки, вылетевшей из ружья под углом а, станет параллельно отрезку АВ, направление которого не изменяется со временем. Из рис. 2.5 видно, что это произойдет при
Jk = — ctga. (2.18)
Vx
Поскольку проекции' скорости дробинки определяются формулами
ux = a0cosa, 1>у = 1>0зта—gt, то с помощью (2.18) находим
t v°
1 g sin a
Подставляя значение в уравнения движения дробинки (2..3), получаем координаты фокуса пучка (2.16) и (2.17). Приведенные рассуждения показывают, что эффект фокусировки пучка частиц фактически определяется не условием пересечения различных траекторий между собой, а условием пересечения траекторий с линией MN (рис. 2.4), перпендикулярной к траектории: точки пересечения для траекторий, отличающихся начальным углом на величину ~6, отстоят на прямой MN друг от друга на расстояние порядка б2.
Рассмотренный эффект фокусировки первоначально расходящегося пучка частиц обусловлен действием силы тяжести, поэтому пучок фокусируется только в вертикальной плоскости.
26
ДИНАМИКА
ДИНАМИКА
§ 3. Системы отсчета в динамике. Законы Ньютона.
Принцип относительности Галилея
Динамика изучает движение тел, вскрывая причины, придающие движению тот или иной характер. Основу динамики составляют законы Ньютона, которые представляют собой обобщение большого числа экспериментальных фактов.
В кинематике все системы отсчета равноправны и одинаково допустимы. В динамике естественно попытаться выбрать систему отсчета таким образом, чтобы явления природы в ней выглядели наиболее просто. Опыт показывает, что при определенном выборе системы отсчета справедливо следующее простое утверждение: свободное тело, -т. е. тело, не взаимодействующее с другими телами, покоится или движется прямолинейно и равномерно. В этом и состоит содержание первого закона Ньютона. С точки зрения первого закона Ньютона состояние движения свободного тела с постоянной скоростью эквивалентно состоянию покоя в том смысле, что, как и покой, оно является естественным, не требующим никакого объяснения, никакой причины.
Начиная с Аристотеля, на протяжении почти двадцати веков существовало предубеждение, что движение с постоянной скоростью нуждается для своего поддержания во внешнем воздействии, а при отсутствии такого воздействия движение прекращается. Понадобился гений Галилея и Ньютона, чтобы осознать то, что объяснения требует не движение с постоянной скоростью, а изменение скорости. Движение тела, происходящее без внешних воздействий, называется движением по инерции. Системы отсчета, в которых свободное тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, называются инерциальными.
